Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 15 avr. 2009 16:39

J'ai un exo assez (hyper) classique que j'avais eu en Kholle cette année :
Montrer que si A($ \in M_n(\mathbb{R}) $) est semblable à B($ \in M_n(\mathbb{R}) $) dans $ M_n(\mathbb{C}) $ elle est semblable à B dans $ M_n(\mathbb{R}) $.
Je ne sais pas s'il est jugé facile ou pas, moi j'avais bien ramé, parce qu'on ne l'avait pas encore revu en exercice cette année (on l'a vu après), et que je ne me rappelais de rien de l'année précédente.

Un autre assez sympa (mais probablement facile lui) est :
Montrer que $ 2 | dim(E) \Leftrightarrow \exists u \in L(E), Ker(u) = Im(u) $.
Modifié en dernier par Thaalos le 15 avr. 2009 16:55, modifié 2 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 15 avr. 2009 16:50

Tu as oublié de préciser que A et B doivent être réelles :-)
Sinon, ces deux exercices sont effectivement de grands classiques, et le deuxième est beaucoup plus facile que le premier (surtout la première fois qu'on les voit !)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 15 avr. 2009 16:56

En effet, erreur corrigée ! ^^
Le deuxième a un sens évident, l'autre est peut-être un peu plus dur.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 15 avr. 2009 17:13

Sinon, voici un exo un peu trash. Pas forcément intéressant, mais un peu dur. :twisted:

On considère le groupe additif $ G = \mathbb{Z}^\mathbb{Z} $ des applications de $ \mathbb{Z} $ vers $ \mathbb{Z} $, ainsi qu'un sous-groupe H de G, défini par $ H = \{f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \ | \ \exists K \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{Z}, |n| \geq K \Rightarrow f(n) = 0 \} $ : H est le sous-groupe des fonctions à support compact.
Soit maintenant $ \mathbb{A} $ un sous-anneau unitaire de $ \mathbb{Q} $ et deux entiers a et b premiers entre eux, tels que $ \mathbb{A} \cap \{a^{-1},b^{-1}\} = \emptyset $.
Montrer que le seul morphisme de groupes additifs $ \varphi : G \rightarrow \mathbb{A} $ tel que $ H \subset \ker \varphi $ est le morphisme nul.

colis : J'ai édité le message, il y avait une coquille...
Modifié en dernier par V@J le 16 avr. 2009 02:31, modifié 4 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 15 avr. 2009 17:49

V@J: tu voulais peut-être dire "tel que $ \varphi_{|H}=0 $ ", non ???
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 15 avr. 2009 20:39

Effectivement, l'énoncé fait peur. :(
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » 15 avr. 2009 21:09

Ça m'a l'air très puissant !
En gros il suffit de priver le sous-anneau à l'arrivée des inverses de deux entiers premiers entre eux pour qu'un morphisme qui annule les fonctions à support compact, annule finalement tout.

Bon, par contre, j'ai pas envie d'y réfléchir et pour une fois vais sagement attendre que quelqu'un s'en charge. C'est les vacances après tout :mrgreen:
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Watza » 16 avr. 2009 01:05

L'anneau est supposé unitaire ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 16 avr. 2009 01:24

Je crois que maintenant les anneaux sont par définition unitaires, contrairement à il y a quelques années.
S'il ne l'est pas, on parle de pseudo-anneau.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » 16 avr. 2009 02:56

"Quelques années", ça remonte quand même à Bourbaki :lol:. Mais il y a encore beaucoup de gens qui ne les prennent pas unitaires il me semble.
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