Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 03 sept. 2018 17:00


Petit exercice pour V@J que mon prof de spé ne savait pas faire :shock:

Déterminer toutes les fonctions continues de R dans R telles que, $ \forall x \in R, \int_0^1 \frac{f(x+t)-f(x)}{t²}dt $ converge.


Je n'ai pas regardé la solution de la RMS. Mais voici ma solution. C'est probablement la même que celle du RMS car c'est un cheminement assez naturel. Voici ma solution sous forme d''exercice guidé:
SPOILER:
  1. Soit $ x<y $ deux réels. Soit $ \varepsilon>0 $. On pose
    $$
    \begin{aligned}
    A&:=\{u\text{ tq $x\leq u\leq y$ et tq $\lvert f(u)-f(x)\rvert\leq \varepsilon \lvert u-x\rvert$}\},\\
    \theta&:= \sup\limits_{u\in A}(u).
    \end{aligned}
    $$
    1. Montrez que $ \theta $ appartient à $ A $.
    2. Montrez que $ \theta=y $.
  2. En déduire que pour tout réels $ x,y $, $ f(x)=f(y) $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 03 sept. 2018 18:52

Simon Billouet a écrit :
03 sept. 2018 16:28
JeanN a écrit :
03 sept. 2018 15:37
À mon avis ça ne posera aucun problème à v@j et la solution est dans la rms (numéro 3 de 2016-2017 je crois)
Le correcteur est fameux ! ;)
Ah oui :)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 04 sept. 2018 03:29

@jeanN qu'elle est la motivation derrière votre construction ?
Modifié en dernier par oty20 le 04 sept. 2018 14:54, modifié 1 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 04 sept. 2018 11:37

Des figures je crois
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 04 sept. 2018 15:16

Merci beaucoup, c'est super intéressant pourriez- vous si c'est possible les restituées ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 04 sept. 2018 16:49

oty20 a écrit :
04 sept. 2018 15:16
Merci beaucoup, c'est super intéressant pourriez- vous si c'est possible les restituer ?

Non : je jette mes brouillons. Par contre, si tu suis la solution, tu devrais pouvoir les refaire.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 sept. 2018 08:32

matmeca_mcf1 a écrit :
03 sept. 2018 17:00

Je n'ai pas regardé la solution de la RMS. Mais voici ma solution. C'est probablement la même que celle du RMS car c'est un cheminement assez naturel. Voici ma solution sous forme d''exercice guid....
oui effectivement c'est plus naturel d’évaluer le numérateur par rapport à la partie dominante du dénominateur.


Soit $ x_0\in \mathbf{R} $. Fixons $ \varepsilon>0. $ Étudions l’ensemble $ U_{x_0}:= \{x\in\mathbf{R}\mid x>x_0, |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon (x-x_0)\} $. Comme $ f $ est continue, $ U_{x_0} $ est un ouvert. Par ailleurs ,Il est dense autour $ x_0 $, c'est-à-dire on peut trouver des points de $ U_{x_0} $ aussi proche que l'on souhaite de $ x_0 $
Preuve: En effet, supposons qu'il existe un intervalle $ [x_0,x_1[ $ qui ne contient aucun points de $ U_{x_0} $.
Alors $ f(t)-f(x_0) $ à un signe constant dans $ ]x_0,x_1[ $, supposons sans perdre de généralité qu'il est positive. Alors:
$ \int\limits_0^{x_1} \frac{f(x+t)-f(x)}{t^{2}}\, dt\geq \displaystyle{ \int\limits_0^{x_1}\frac{\varepsilon}{t}\,dt} $
Ce qui conduit clairement à une contradiction car le membre de droite diverge .


Étudions maintenant la densité $ U_{x_0} $ dans $ ]x_0,\infty[ $. Raisonnons par l'absurde , en supposant qu'il existe un intervalle ouvert $ ]c,d[, c>x_0 $ qui ne contient aucun point de $ U_{x_0} $. Considérons $ c':=\sup\limits_{x<d} U_{x_0} $. Alors $ c'\leq c $ et $ |f(c')-f(x_0)|\leq \varepsilon (c'-x_0) $ (par continuité de $ f $ ).
On regarde $ U_{c'} $. Comme il est dense autour de $ c' $,on peut trouver $ c''\,,\,c''\in (c',d) $ tel que $ |f(c'')-f(c')|< \varepsilon (c''-c') $. Ainsi:
$ |f(c'')-f(x_0)|\leq |f(c')-f(x_0)|+|f(c'')-f(c')|<\varepsilon (c''-x_0) $
Par suite $ c''\in U_{x_0} $, ce qui fournit une contradiction en vue la définition $ c' $.

Finalement , puisque $ U_{x_0} $ est dense dans $ ]x_0,\infty[ $, Pour tout $ x>x_0 $ on a:
$ |f(x)-f(x_0)| \leq \varepsilon(x-x_0) $.
$ \varepsilon>0 $ étant choisi arbitrairement, cela force $ f(x)=f(x_0) $, et cela pour tout réel $ x_{0} $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 sept. 2018 15:48

une petite merveille:


Soit $ f:[0,1] \to \mathbb{C} $ continue par morceaux , Montrer que :

$ \frac{1}{\phi(n)}~~ \sum_{~~\{1\leq k \leq n ,~~ pgcd(n,k)=1\}~~}~~ f(\frac{k}{n}) \to \int_{0}^{1} f(t) dt $.


avec $ \phi $ l'indicatrice d'Euler.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 sept. 2018 18:23

@Dattier: Merci infiniment.

je ne pense pas que cela soit si direct... pourriez vous expliciter la subdivision ?

Petit indice :
SPOILER:
penser à l’équipartition
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 sept. 2018 20:17

Avec vos notations voici quelques remarques :

-Ici $ t_{i}=\frac{a_{i}}{n} \notin [a_{i},a_{i+1}] $

-On divise par $ m=\phi(n) $ et non pas par $ n $, pourquoi évaluer la limite de $ \frac{e(n)}{n} $ ?

- Est ce que $ S=\sum_{i=1}^{m} (a_{i+1}-a_{i}) f(t_{i})=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} f(t_{i}) $ ?
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