Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par noro » 18 nov. 2018 13:24

Dattier a écrit :
18 nov. 2018 12:29

En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?
C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|
Nothing happened.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par noro » 18 nov. 2018 14:11

Dattier a écrit :
18 nov. 2018 13:45
noro a écrit :
18 nov. 2018 13:24
C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|
On prend X={1,-2}

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i-x_j|=3+3+0+0=6$

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i+x_j|=1+1+4+2=8$

Tu as dû oublier les cas $|x_i+x_i|$
Oui tu as raison j'ai mal lu :(
Nothing happened.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 18 nov. 2018 14:35

Siméon a écrit :
18 nov. 2018 09:53
Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?
En faite ce problème est apparu dans la compétition Miklós Schweitzer en 1990 , cela m'avait choqué de le voir apparaitre dans un livre de prépas , je ne connais que les initiales de l'auteur T.F.MÓRI , la solution que j'ai présenté est la solution de l'auteur.

D'ailleurs il y a une compétition qui a récemment vu le jour en France, dont l'idée je pense est inspiré de cette compétition

@Dattier le livre est sortie juillet 2018 il me semble.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 18 nov. 2018 14:47

Dattier a écrit :
18 nov. 2018 12:29
En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?


On peut démontrer cet exo avec une méthode similaire à la démonstration du précédent exercice, et c'est plutôt classe :mrgreen:
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 12 janv. 2019 01:46

Joyeuse année 2019:
Que vaut :

$ \int_{1}^{2019} (x-1)(x-2)...(x-2019)dx $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 12 janv. 2019 13:41

Bonne année.

Pour l'équivalent :
SPOILER:
On pose $ u_{n} = f^{n}(1) $, de sorte que $ u_{0} = 1 $ et $ u_{n+1} = f(u_{n}) $. On définit f sur $ ]0, +\infty[ $, ensemble stable. $ (u_n) $ est ainsi bien définie et (strictement) positive.
Si elle converge, sa limite $ l $ vérifie $ l = f(l) $ par continuité de $ f $, donc vaut $ -1 $, ce qui est impossible.
$ f $ est dérivable et $ f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 7}{(x+2)^2} > 0 $, donc $ f $ croît strictement.
$ u_0 = 1 < 3 = u_1 $ donc par récurrence $ u_n < u_{n+1} $. $ (u_n) $ croît, donc tend vers $ + \infty $.
Donc $ u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 3}{u_n + 2} $tend vers $ 3 $. Enfin, par sommation des équivalents (ou Cesaro), $ u_n \sim 3n $.
Modifié en dernier par btsix le 13 janv. 2019 13:44, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 12 janv. 2019 14:01

SPOILER:
La sommation des équivalents est au programme de MP. Cesàro en est un corollaire, qui je crois est hors-programme.
https://ibb.co/JF6hLQ5

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Bidoof » 13 janv. 2019 19:09

Salut à tous !
Un petit exercice visuel : Montrer qu'une fonction convexe est le sup des droites qui la minorent.
$ \varphi(x) = sup_{a,b \in R ; D_{a,b} \le \varphi} \{ax+b\}$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 14 janv. 2019 16:18

Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » 14 janv. 2019 18:46

SPOILER:
On peut se demander si le maximum de $ ax+b $ est atteint pour un seul ou plusieurs couples $ (a,b)\in K $.

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