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Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 12 janv. 2019 13:41
par btsix
Bonne année.

Pour l'équivalent :
SPOILER:
On pose $ u_{n} = f^{n}(1) $, de sorte que $ u_{0} = 1 $ et $ u_{n+1} = f(u_{n}) $. On définit f sur $ ]0, +\infty[ $, ensemble stable. $ (u_n) $ est ainsi bien définie et (strictement) positive.
Si elle converge, sa limite $ l $ vérifie $ l = f(l) $ par continuité de $ f $, donc vaut $ -1 $, ce qui est impossible.
$ f $ est dérivable et $ f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 7}{(x+2)^2} > 0 $, donc $ f $ croît strictement.
$ u_0 = 1 < 3 = u_1 $ donc par récurrence $ u_n < u_{n+1} $. $ (u_n) $ croît, donc tend vers $ + \infty $.
Donc $ u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 3}{u_n + 2} $tend vers $ 3 $. Enfin, par sommation des équivalents (ou Cesaro), $ u_n \sim 3n $.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 12 janv. 2019 14:01
par btsix
SPOILER:
La sommation des équivalents est au programme de MP. Cesàro en est un corollaire, qui je crois est hors-programme.
https://ibb.co/JF6hLQ5

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 13 janv. 2019 19:09
par Bidoof
Salut à tous !
Un petit exercice visuel : Montrer qu'une fonction convexe est le sup des droites qui la minorent.
$ \varphi(x) = sup_{a,b \in R ; D_{a,b} \le \varphi} \{ax+b\}$

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 14 janv. 2019 16:18
par Siméon
Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 14 janv. 2019 18:46
par GaBuZoMeu
SPOILER:
On peut se demander si le maximum de $ ax+b $ est atteint pour un seul ou plusieurs couples $ (a,b)\in K $.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 14 janv. 2019 19:04
par Mathoss
Salut, un petit exercice pour la forme!
Soit (A,+,x) un anneau commutatif possédant exactement n>=2 diviseurs de zéro, montrer que A est fini de cardinal <= n^2.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 14 janv. 2019 23:06
par GaBuZoMeu
@Dattier : plus haut, je parlais bien entendu du maximum de $ ax+b $ à $ x $ fixé.
Je suis intervenu parce que je suis convaincu que tu n'as pas donné la réponse que Siméon attendait.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 15 janv. 2019 00:24
par Nabuco
Dattier a écrit :
14 janv. 2019 23:21
Là je pense que c'est mieux :
SPOILER:
Etudions le taux d'accroissement de $ f $, $h>0$
$T(x,h)=f(x+h)-f(x)=\sup\{ax+ah+b \text{ | } (a,b)\in K\}-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\}=\sup\{ax+ah+b-\sup\{ax+b \text{ | } (a,b)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\} $
$T(x,h)=\sup\{ax+ah+b+\inf\{-ax-b \text{ | } (a,b)\in K\} \text{ | } (a,b)\in K\} = \sup\{\inf\{ah \text{ |} (a,b) \in K\}\text{ | } (a,b)\in K\}=Ah$
avec $A=\min\{a \text{ | } (a,b)\in K\}$

On peut faire le même travaille pour $h<0$, et avoir la limite à droite et à gauche.
Ça me semble très faux au moment où tu te retrouves avec juste ah, tu aurais le droit de faire rentrer l.inf mais tu ne peux pas prendre l.inf et le sup sur a, b ils portent chacun sur un couple de paramètres distinct

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 15 janv. 2019 01:27
par V@J
Dattier a écrit :
14 janv. 2019 22:10
J'offre un million d'euros a qui résoud cette énigme.

PS: je vous paierais une fois que l'euro aura sauté... :mrgreen:
Dattier a écrit :
12 janv. 2019 12:07
Soit $U_n$ une tour de puissance de 2 de hauteur $n$, $V_n$ une tour de puissance de 3 de hauteur $n-2$. Déterminer $\lim\dfrac{U_n}{V_n}$.

$U_3=2^{2^2}$
Je veux bien l'argent (au futur simple, pas au conditionnel) :
SPOILER:
Donc j'ai $ U_0 = 1, V_2 = 1 $ et $ U_{n+1} = 2^{U_n}, V_{n+1} = 3^{V_n} $. Déjà, il est clair que $ U_n, V_n \to \infty $. Puis, puisque $ U_2 = 4 $, une récurrence immédiate montre que $ U_n \geqslant 4 V_n \geqslant 4 $ : c'est vrai pour $ n = 2 $, et pour tout $ n \geqslant 2 $ on peut ensuite utiliser le fait que $ U_{n+1} = 2^{U_n} \geqslant 2^{4 V_n} = 16^{V_n} \geqslant 5^{V_n} 3^{V_n} \geqslant 4 V_{n+1} $. Mais alors on a même $ U_{n+1} / V_{n+1} \geqslant 5^{V_n} \to +\infty $.

Re: Exos sympas MP(*)

Posté : 15 janv. 2019 11:10
par Siméon
GaBuZoMeu a écrit :
14 janv. 2019 23:06
Je suis intervenu parce que je suis convaincu que tu n'as pas donné la réponse que Siméon attendait.
La piste suggérée par GBZM me semble en effet plus prometteuse. À ce propos, pourriez-vous ajouter avant vos balises spoiler quelques mots précisant sa nature (indication, solution, etc.) ? Cela éviterait de devoir cliquer pour le découvrir.