Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 19 janv. 2019 18:39

oty20 a écrit :
18 janv. 2019 17:31
Vrai ou faux :

pour toute suite $ (x_{n})_{n\geq 1} $ de réels positifs tel la série $ \sum x_{n} $ est divergente, est-il-possible de trouver une sous-suite $ (x_{\phi(n)})_{n\geq 1} $ de sorte que $ \sum_{n=1}^{\infty} x_{\phi(n)}=+\infty $ et $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\phi(n)} = 0 $ ?
Indice
SPOILER:
Commencez par montrer que pour tout $ m $ dans $ \mathbb{N}^* $, il existe $ j $ dans $ [[0,m-1]] $ tel que
$$
\sum_{k}x_{mk+j}=+\infty. $$
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 19 janv. 2019 21:19

darklol a écrit :
18 janv. 2019 01:42
J’espère que cette preuve est juste (à peine quelques mois sans maths et déjà l’impression de n’en avoir jamais fait):
Ça me semble tout à fait juste !

@Dattier : merci pour ton problème. Cependant, je ne vois pas plus que GBZM où intervient la convexité des fonctions. Était-ce juste un piège ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 19 janv. 2019 21:27

Pour le problème de oty20 :
SPOILER:
Pourvu que $x_i \to 0$ (sinon c'est facile), je commencerais par découper $ \mathbb N^* $ en intervalles $I_k = [\![a_k,a_{k+1}[\![$ tels que $\sum_{i \in I_k} x_i \geqslant 1$, puis piocher avec $\phi$ tous les termes de $I_1$, la moitié des termes de $I_2$, un tiers des termes de $I_3$, etc. (prendre les plus gros à chaque fois) Mais ça ne semble pas suffisant pour avoir $\limsup \frac{n}{\phi(n)} = 0$.
Edit : il suffit en fait de piocher les éléments de $I_k$ en progression arithmétique de raison $k$. Du coup, ça doit revenir à l'idée de matmeca.
Modifié en dernier par Siméon le 19 janv. 2019 22:59, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 19 janv. 2019 23:08

@Dattier : Oui, mais après ? J'ai du mal à croire que ça donne une solution plus simple ou plus rapide que passer directement par l'existence d'une partie dénombrable dense de $C([0,1] ; \mathbb R)$ pour la norme infinie.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 20 janv. 2019 07:08

matmeca_mcf1 a écrit :
19 janv. 2019 18:39
SPOILER:
Commencez par montrer que pour tout $ m $ dans $ \mathbb{N}^* $, il existe $ j $ dans $ [[0,m-1]] $ tel que
$$
\sum_{k}x_{mk+j}=+\infty. $$


C'est exactement cela, l'idée m'est venue en regardant cette video de Terence Tao : https://www.youtube.com/watch?v=QauoO0j9Y9Y , le théorème à 6min 50s.

je me rends compte, d'après le poste de @Siméon qu'il n'est pas évident de penser aux progressions arithmétiques du premier coup.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » 20 janv. 2019 11:10

@Dattier : vraiment n'importe quoi, ton histoire, franchement !
1°) La convexité ne joue aucun rôle dans ce que tu racontes (pas plus que le fait que les fonctions soient à valeurs dans $ [0,1] $, d'ailleurs).
2°) Tu dis vouloir rester dans le programme de MP, et tu utilises sans en donner de démonstration le théorème d'approximation de Weierstrass (la densité des polynômes, qui plus est à coefficients rationnels).

Toute cette esbrouffe pour ça !

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » 20 janv. 2019 14:34

Au temps pour moi, le théorème d'approximation de Weierstrass figure dans le programme de MP - mais sans démonstration. Par ailleurs, même si le passage des polynômes à coefficients réels aux polynômes à coefficients rationnels n'est pas difficile, il demande tout de même un argument qui ne se résume pas à "$ \mathbb Q $ est dense dans $ \mathbb R $". Enfin, on n'a toujours rien vu du raccourci établissant le résultat annoncé spécifiquement pour les fonctions convexes.

Pour en finir avec cette histoire j'explicite, sous forme d'exercice aux questions faciles, une démonstration au ras des pâquerettes.

Soit $ f $ une fonction continue de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $, et soit $ \epsilon >0 $.
1°) Montrer que pour tout $ x\in [0,1] $ il existe des rationnels $ a,b,c,d $ vérifiant $ a<x<b $ et $ c<d<c+\epsilon $ tels que, pour tout $ y\in [a,b]\cap[0,1] $, $ f(y)\in {]c,d[} $.
On note $ U(a,b,c,d)=\{g\in C^0([0,1],\mathbb R)\mid \forall y \in [a,b]\cap[0,1]\ \ f(y)\in {]c,d[}\} $.
2°) Montrer qu'il existe une suite finie de quadruplets de rationnels $ \left((a_i,b_i,c_i,d_i)\right)_{i=1,\ldots,n} $ telle que $ a_i<b_i $ et $ c_i<d_i $ pour $ i=1,\ldots,n $, que $ f\in \bigcap_{i=1}^nU(a_i,b_i,c_i,d_i) $ et que, pour tout $ g\in \bigcap_{i=1}^nU(a_i,b_i,c_i,d_i) $ et tout $ y\in [0,1] $, $ \vert g(y)-f(y)\vert < \epsilon $.

Soit maintenant $ A $ une partie de $ C^0([0,1],\mathbb R) $ qui n'a pas de point d'accumulation pour la topologie de la convergence uniforme.
3°) Montrer que $ A $ est dénombrable (indication : on pourra définir une injection de $ A $ dans l'ensemble des suites finies de quadruplets de rationnels).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 22 janv. 2019 09:41

Dans le contexte des postes de @GaBuZoMeu et @Dattier voici un résultat de Mazurkiewicz-Sierpinski :

Soit $ (P_{n}) \in \mathbb{Q}[X]^{\mathbb{N}} $ tels que $ P_{n}(0)=0 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $.

Il existe une série entière $ \sum_{n \geq 1} a_{n} x^{n} $ et une extractrice $ \phi $ tel que :

$ \forall x \in [0,1], n \geq 1 : ~~~~~~~|p_{n}(x)-s_{\phi(n)}(x)| \leq \frac{1}{n} $.

avec $ s_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} x^{k} $
Cela permet de prouver que toute fonction continue $ f : [0,1] \to \mathbb{R} $ qui vérifie $ f(0)=0 $, on peut trouver une extractrice $ h $ telle que $ (s_{h(n)})_{n\geq 1} $ converge uniformément vers $ f $ sur $ [0,1] $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 27 janv. 2019 18:11

L'espace $ \mathbb{R}\times\mathcal{C}([0,1];\mathbb{R}) $ munie de la norme produit (produit de la valeur absolue et de la norme de la convergence uniforme) est un espace métrique séparable, donc à base dénombrable. Toute partie d'un espace topologique à base dénombrable admet au plus un nombre dénombrable de points qui ne sont pas des points de condensation, cf Sierpinczky(1938) "Introduction to general topology", chapitre III.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 27 janv. 2019 23:09

En même temps, s'il s'agit de la preuve attendue, cet exercice est très clairement inadapté ici.

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