Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » 28 avr. 2019 13:41

Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par kakille » 28 avr. 2019 15:03

Bonjour,

on considère $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées définies sur un espaces probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ telle que $P(X_n=1)=P(X_n=-1)=1/2$ pour tout entier strictement positif $n$. On définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ pour tout entier strictement positif $n$. Soit $x$ un entier positif. Montrer que lorsque $n$ tend vers l'infini on a l'équivalent
$$
P(x+S_1\geq 0\cap \ldots \cap x+S_n\geq 0)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+1)\frac{1}{\sqrt{n}}.
$$
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par donnerwetter » 28 avr. 2019 15:39

kakille a écrit :
28 avr. 2019 13:41
Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).
Désolé je ne suis plus en prépa et j'ai un peu perdu la patte au niveau de la rédaction, je n'ai pas développé les points qui me paraissaient évidents (par souci de concision aussi)...
x = sup{t>0, f'(u)<0 sur ]0,t[} donc l'existence est garantie par le fait que a>f>0 sur un voisinage de 0 donc sin(f)>0 sur ce voisinage et donc f' y est strictement négative.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 05 mai 2019 09:42

Mathoss a écrit :
22 avr. 2019 18:26
J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
En tout cas, la question b) est incorrecte, puisque, pour n=1, notre fonction n'aura jamais plus de deux zéros, et qu'elle n'en aura aucun si $ X_0 > X_1 > 0 $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 05 mai 2019 18:40

L' énoncé est tiré d’où ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 05 mai 2019 23:03

V@J a écrit :
05 mai 2019 09:42
Mathoss a écrit :
22 avr. 2019 18:26
J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
En tout cas, la question b) est incorrecte, puisque, pour n=1, notre fonction n'aura jamais plus de deux zéros, et qu'elle n'en aura aucun si $ X_0 > X_1 > 0 $.
C'est exact. En 1b, le résultat demandé devrait être que l'espérance est inférieure ou égale à $ n $. Et il faudrait probablement rajouter en hypothèse que $ (X_n,\ldots,X_1) $ est de même loi que $ (X_1,\ldots,X_n) $. Le fait que les $ X_i $ aient la même loi ne suffit pas (ou alors il faut rajouter l'hypothèse que les$ X_i $ sont des variables indépendantes).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Point fixe

Message par AhmedNasredinne » 21 mai 2019 18:52

Bonjour,

Voici un n eme exercice sur une histoire de point fixe :D

Soit f une application de K dans K, ( K compacte d’un Ev norme de dimension finie) qui vérifie $ \exists k \in ]0,\frac{1}{2}[, \forall (x,y) \in K^2, ||f(x)-f(y)|| \leq k(||f(x)-x|| + ||f(y)-y ||) $
On se donne $ x_{0} \in K $ et on pose $ x_{n+1} = f(x_{n}) $
Montré que la suite $ (x_n) $ converge puis que f admet un et un seul point fixe

Bon courage à tous.

Indice :
SPOILER:
On pourra montre que $ \forall n \in \mathbb{N} ||x_{n+1} - x_{n}|| \leq (\frac{k}{1-k})^n||x_{1}-x_{0}|| $
Pas d’aide par MP

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 21 mai 2019 21:59

Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?

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Re: Point fixe

Message par Errys » 21 mai 2019 23:12

SPOILER:
Sinon pour prouver le résultat dans l'indication une récurence suffit. Étant clairement vrai pour n = 0 on peut supposer qu'il est vrai pour n. et on a alors avec x = x_n+1 et y= x_n :
$ | x_{n+2} - x_{n+1}| \le k(|x_{n+2} - x_{n+1}| + |x_{n+1}-x_n|) $
D'où $ |x_{n+2} - x_{n+1}|\le \dfrac{k}{1-k} |x_{n+1} - x_n| $
Et l'hypothèse de récurence conclut.
Ensuite il reste à montrer que la suite est de Cauchy pour conclure, car K est compact.
Pour montrer qu'elle est de Cauchy, on remarque que 0 < k/(1-k) < 1 donc la série des k/(1-k) est convergente donc de Cauchy. Ainsi si on prend eps > 0 et N dans la définition de suite de cauchy de la série, alors si p> q > N on a le résultat voulu en appliquant l'inégalité triangulaire sur $ |x_p - x_q| = |\sum_{i=q}^{p-1} x_{i+1} - x_i| $. Notons a sa limite (qui est clairement un point fixe !)

Pour ce qui est de l'unicité du point fixe, si on prend un point fixe b, alors en prenant y = b et x = x_n on a $ |x_{n+1} - b| \le k|x_{n+1} - x_n| $
Mais le RHS converge vers 0 donc le LHS aussi. Ainsi a = b car le LHS converge vers $ |a-b|=0 $
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Re: Point fixe

Message par Nabuco » 21 mai 2019 23:25

Errys a écrit :
21 mai 2019 23:12
Pourquoi ne pas mettre ce fil dans les exos sympas MP* ?
SPOILER:
Sinon pour prouver le résultat dans l'indication une récurence suffit. Étant clairement vrai pour n = 0 on peut supposer qu'il est vrai pour n. et on a alors avec x = x_n+1 et y= x_n :
$ | x_{n+2} - x_{n+1}| \le k(|x_{n+2} - x_{n+1}| + |x_{n+1}-x_n|) $
D'où $ |x_{n+2} - x_{n+1}|\le \dfrac{k}{1-k} |x_{n+1} - x_n| $
Et l'hypothèse de récurence conclut.
Ensuite il reste à montrer que la suite est de Cauchy pour conclure, car K est compact.
Pour montrer qu'elle est de Cauchy, on remarque que 0 < k/(1-k) < 1 donc la série des k/(1-k) est convergente donc de Cauchy. Ainsi si on prend eps > 0 et N dans la définition de suite de cauchy de la série, alors si p> q > N on a le résultat voulu en appliquant l'inégalité triangulaire sur $ |x_p - x_q| = |\sum_{i=q}^{p-1} x_{i+1} - x_i| $. Notons a sa limite (qui est clairement un point fixe !)

Pour ce qui est de l'unicité du point fixe, si on prend un point fixe b, alors en prenant y = b et x = x_n on a $ |x_{n+1} - b| \le k|x_{n+1} - x_n| $
Mais le RHS converge vers 0 donc le LHS aussi. Ainsi a = b car le LHS converge vers $ |a-b|=0 $
La fonction f n'est pas spécifiée continue donc je ne vois pas pourquoi c'est clairement un point fixe.
Après c'est pas impossible que f soit supposée continue et que cela n'ait pas été précisée.

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