Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 22 mai 2019 09:47

Dattier a écrit :
22 mai 2019 03:36
btsix a écrit :
21 mai 2019 21:59
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
SPOILER:
Prendre $a=2$ et $b=-2$ alors $P'>0$ donc $P$ strictement croissante d'où $P$ avec une seule racine réel d'ordre 1, donc non scindé dans $\mathbb R$
SPOILER:
Comment tu trouves $P'>0$ ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 22 mai 2019 11:58

Il existe effectivement une solution courte.

Indication 1
SPOILER:
La réponse est toujours oui.

Indication 2
SPOILER:
Ne pas chercher à exhiber une racine. (Je ne sais même pas s'il en existe une qui s'exprime simplement.)

V@J

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 29 mai 2019 09:31

btsix a écrit :
21 mai 2019 21:59
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
Ce problème est mignon...
SPOILER:
Il suffit de calculer $ P(-a) $ et $ P(b) $ et de discuter selon le signe de $ a+b $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par electronlibre » 29 mai 2019 13:10

Bonjour,
un exo sympa : on se donne n un entier, trouver les permutations de Sn qui s'écrivent comme un carré, puis celles qui s'écrivent comme un carré de manière unique

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 29 mai 2019 14:07

electronlibre a écrit :
29 mai 2019 13:10
Bonjour,
un exo sympa : on se donne n un entier, trouver les permutations de Sn qui s'écrivent comme un carré, puis celles qui s'écrivent comme un carré de manière unique
SPOILER:
Le carré d'un cycle de longueur impaire $ \sigma = (a_1 \ldots a_{2k+1}) $ est aussi un cycle de longueur 2k+1. En effet, si $ \sigma^{2o}= id $ alors $ 2k+1\mid 2o $ donc $ 2k+1\mid o $ et comme l'ordre de $ \sigma^2 $ divise clairement 2k+1, on a $ \sigma^2 $ qui est un cycle d'ordre 2k+1 de même support que $ \sigma $.

En revanche si on prend un cycle de longueur paire $ \sigma = (a_1 \ldots a_{2k}) $ alors on a plus le même résultat car l'ordre de $ \sigma^2 $ est k. Mais on peut le décomposer en deux cycles de longueur k facilement : $ \sigma ^2 = (a_1 a_3 \ldots a_{2k-1})(a_2 a_4 \ldots a_{2k}) $. Les deux cycles sont à support disjoint et l'union des supports est le même que celui de $ \sigma $

Ainsi si on prend un carré $ \sigma^2 $, en étudiant la décomposition en cycles à support disjoint de $ \sigma $ avec ce qu'on a vu précédemment, on a que $ \sigma^2 $ comporte un nombre pair de cycles de longueur $ 2k $ pour tout entier k.

Il reste à montrer que cette condition est suffisante.
Pour cela, il s'agit de savoir écrire un cycle de longueur impaire comme le carré d'un cycle et le produit de deux cycles de même longueur paire comme un carré.
Pour un cycle de longueur impaire, on a $ (a_1 \ldots a_{2k+1}) = \left( (a_1 \ldots a_{2k+1})^{k+1}\right)^2 $
Pour deux cycles de même longueur paire $ (a_1\ldots a_{2k}), (b_1, \ldots b_{2k}) $ on peut juste prendre $ \sigma = (a_1 b_1 a_2 b_2 \ldots a_{2k} b_{2k}) $.
Comme on ne change pas les supports, cela suffit pour montrer le résultat voulu.

Maintenant on va s'intéresser à l'unicité.
Le produit de deux cycles de même longueur paire $ 2k\ge 2 $ peut s'écrire de plusieurs façons différentes comme un carré : $ (a_1 b_1 \ldots a_{2k} b_{2k})^2=(a_1 b_2 a_2 b_3 \ldots a_{2k} b_1)^2 = (a_1\ldots a_{2k}) (b_1\ldots b_{2k}) $. Ainsi si il y a unicité alors on a forcément une permutation qui s'écrit comme un produit de cycle de longueurs impair à support disjoints.
De même pour le produit de deux cycles de même longueur impaire à supports disjoints.
on peut écrire $ (a_1\ldots a_{2k+1})(b_1 \ldots b_{2k+1}) = \left( (a_1 \ldots a_{2k+1})^{k+1}\right)^2 \left(( b_1 \ldots b_{2k+1})^{k+1}\right)^2 = (a_1 b_1 a_2 b_2 \ldots a_{2k+1} b_{2k+1})^2 $


Il vient qu'une permutation qui s'écrit de façon unique comme un carré est le produit de cycles à supports disjoints de longueurs impaires distinctes. Il reste à montrer que cette condition est suffisante.
Soit $ \sigma^2 $ une telle permutation (on sait que c'est forcément un carré), on considère la décomposition en cycles à support disjoints de $ \sigma $.
S'il y a un cycle de longueur paire, alors ce cycle élevé au carré donnera deux cycles de même longueur à support disjoints. Ce qui est absurde.
Ainsi tous les cycles sont de longueurs impaires. Comme le carré d'un cycle de longueur impaire est aussi un carré de longueur impaire, à chaque cycle c de $ \sigma^2 $ on peut associer un unique cycle c' de $ \sigma $ tel que c'^2 = c. Et cette association est surjective.
Or, si $ c'^2 = c $, alors en élevant à la puissance k+1 on obtient $$ c' = c^{k+1} $ donc on a unicité !
Modifié en dernier par Errys le 29 mai 2019 17:03, modifié 3 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 29 mai 2019 14:08

Deux autres exos sympa sur les permutations :
1) Trouver le nombre minimal de transpositions qui engendrent $ S_n $
2) Montrer qu'il n'existe pas de morphisme injectif de $ S_n $ dans $ A_{n+1} $.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » 29 mai 2019 17:56

V@J a écrit :
29 mai 2019 09:31
btsix a écrit :
21 mai 2019 21:59
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
Ce problème est mignon...
SPOILER:
Il suffit de calculer $ P(-a) $ et $ P(b) $ et de discuter selon le signe de $ a+b $
Sympathique !
Solution encore plus courte :
SPOILER:
P est le polynôme caractéristique de la matrice symétrique réelle $ \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1-\lambda} & \sqrt{\lambda} \\ \sqrt{1-\lambda} & -b & 0 \\ \sqrt{\lambda} & 0 & a \end{pmatrix} $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » 29 mai 2019 20:47

Cet exercice est lié à un énoncé classique de localisation des racines.
SPOILER:
Etant donné deux complexes $c$ et $d$ et un polynôme non constant $P$, pour n'importe quel élément $z$ de $[c,d]$
tout antécédent de $z$ par $P$ est dans l'enveloppe convexe de la réunion $P^{-1}\{c\} \cup P^{-1}\{d\}$.

En particulier, étant donné $P$ non constant à coefficients réels, l'ensemble des réels $y$ pour lesquels $P$
est scindé sur $\mathbb{R}$ est un intervalle.

Le lien avec l'exercice : l'énoncé ci-dessus permet de voir qu'il suffit de vérifier que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ lorsque $\lambda$ vaut $0$ ou $1$. Dans chacun de ces cas, il y a une racine assez évidente...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Varzmir » 11 juin 2019 23:19

C'est peut-être un repost, mais bon
Un exo (+problème ouvert) sympa qui essaie de généraliser Cantor-Bernstein :
Soient G, G' des groupes tels qu'il existe un morphisme injectif de G dans G' et un autre de G' dans G.
G et G' sont-ils isomorphes ?
Même question avec des anneaux.
Même question avec des corps commutatifs.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » 11 juin 2019 23:32

Varzmir a écrit :
11 juin 2019 23:19
C'est peut-être un repost, mais bon
Un exo (+problème ouvert) sympa qui essaie de généraliser Cantor-Bernstein :
Soient G, G' des groupes tels qu'il existe un morphisme injectif de G dans G' et un autre de G' dans G.
G et G' sont-ils isomorphes ?
Même question avec des anneaux.
Même question avec des corps commutatifs.
Juste peut être préciser quelles questions sont ouvertes ou non que ceux qui veulent avoir qqch de faisable puisse s y atteler.

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