Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 09:55

Un problème rigolo :

Peut-on trouver une partie E non dénombrable de $ P(\mathbb{N}) $ qui soit totalement ordonnée pour l'inclusion ? (Si $ A,B\in E, A\subseteq B \text{ ou } B\subseteq A) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tass » 13 févr. 2020 12:35

Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Xmines » 13 févr. 2020 16:42

Bravo Errys !
Il existe d’autre variante de solution que je posterai sous peu

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 21:02

Tass a écrit :
13 févr. 2020 12:35
Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?
Oui c'est juste :) bravo !
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tristan33 » 20 févr. 2020 16:11

Un méchant exercice s'il n'a pas encore été posé précédemment :

Soit $ f $ une fonction réelle de classe $ C^{2} $ sur un segment $ [a, b] $
On suppose qu'il existe $ \lambda>0 $ tq: $ \forall x \in [a, b], \lambda \le f^{''}(x) $

Montrer que $ \mid \int_{a}^{b} e^{if(x)} \, \mathrm{d}x \mid \le \frac{8}{\sqrt \lambda} $

(indic à la demande)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ROH2F(x) » 09 mars 2020 16:57

@Bravo à Errys, je suis curieux de voir vos méthodes @Xmines si vous êtes encore disponible.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Hulst » 09 mars 2020 18:04

Bonjour,

Voici un exercice posé en colles en MP*/PC* récemment:

Soit $\lambda>0$.
Montrer que:
$$\forall n\in\mathbb{N}\cap ]\lambda,+\infty[,~\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\leqslant e^n\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^n$$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ROH2F(x) » 09 mars 2020 18:48

Il doit y avoir une belle preuve avec des va qui suivent une loi de poisson mais plus pragmatiquement
$$
\sum_{k=n}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = \left(\frac{\lambda}{n} \right)^{n} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{n^n \lambda^{k-n}}{k!} \stackrel{n \geq \lambda}{\leq} \left(\frac{\lambda}{n} \right)^n \sum_{k=n}^{\infty} \frac{n^k}{k!} \le \left(\frac{\lambda}{n} \right)^n e^{n}
$$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 12 mars 2020 21:03

Tristan33 a écrit :
20 févr. 2020 16:11
Un méchant exercice s'il n'a pas encore été posé précédemment :

Soit $ f $ une fonction réelle de classe $ C^{2} $ sur un segment $ [a, b] $
On suppose qu'il existe $ \lambda>0 $ tq: $ \forall x \in [a, b], \lambda \le f^{''}(x) $

Montrer que $ \mid \int_{a}^{b} e^{if(x)} \, \mathrm{d}x \mid \le \frac{8}{\sqrt \lambda} $

(indic à la demande)

Pour les personnes intéressés par cet exercice, je vous invite à regarder le lemme 17 et 18 ici : https://www.atmschools.org/sites/defaul ... o_sums.pdf
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Chronoxx » 12 mars 2020 23:39

Bonsoir,
Un exo sympathique :

Soit $p\geq 3$ un nombre premier.
Dénombrer les solutions $(x,y)$ de l'équation $x^2 + y^2=1$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Indication 1
SPOILER:
Considérer les ensembles $S_k := \{ (x,y)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2 : x^2 + y^2 = k\}$ avec $k\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

Indication 2
SPOILER:
Pour tout $k\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ non nul, $|S_1|=|S_k|$. On introduira pour cela $(a,b)\in S_k$ en ayant démontré au préalable que les $S_k$ sont non vides.

Indication 3
SPOILER:
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2 = S_0 \sqcup \displaystyle\bigsqcup_{k=1}^{p-1}S_k$ et passer au cardinal
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