Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 09:55

Un problème rigolo :

Peut-on trouver une partie E non dénombrable de $ P(\mathbb{N}) $ qui soit totalement ordonnée pour l'inclusion ? (Si $ A,B\in E, A\subseteq B \text{ ou } B\subseteq A) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tass » 13 févr. 2020 12:35

Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Xmines » 13 févr. 2020 16:42

Bravo Errys !
Il existe d’autre variante de solution que je posterai sous peu

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 21:02

Tass a écrit :
13 févr. 2020 12:35
Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?
Oui c'est juste :) bravo !
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tristan33 » 20 févr. 2020 16:11

Un méchant exercice s'il n'a pas encore été posé précédemment :

Soit $ f $ une fonction réelle de classe $ C^{2} $ sur un segment $ [a, b] $
On suppose qu'il existe $ \lambda>0 $ tq: $ \forall x \in [a, b], \lambda \le f^{''}(x) $

Montrer que $ \mid \int_{a}^{b} e^{if(x)} \, \mathrm{d}x \mid \le \frac{8}{\sqrt \lambda} $

(indic à la demande)

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