Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 16 avr. 2009 13:22

C'est dans les années 60 non ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 16 avr. 2009 14:21

colis > Je n'ai réussi que la première question (en utilisant le déterminant de Vandermonde, j'étais content).

Autre exercice, que je trouve zoli :
Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Madec » 16 avr. 2009 22:04

Thaalos a écrit :C'est dans les années 60 non ?
Le travail du groupe Bourbaki a commencé avant les années 60 .
Par contre son influence sur l'enseignement général en lycée date effectivement des années 60 (plutôt la fin des années 60 d'ailleurs) c'est ce qu'on a appelé l'introduction des Maths Moderne avec tout le formalisme qui allait avec et en particulier l'introduction très tôt des structures .
Par exemple Je me souviens en 6 ième avoir eu l'introduction des relations d'équivalence sur un ensemble et l'ensemble quotient .
Autant dire qu'après le CM2 où l'on travaillait à calculer le temps pour vider des baignoires et faire croiser des trains , cela décoiffait un peu ...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 17 avr. 2009 02:41

Beaucoup même.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 15:34

guigui a écrit :Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.
QCM (au choix)

a°) $ e^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{e+\frac{1}{2}}{2n}) $ ou b°) $ \frac{180}{\pi}\sqrt{\frac{2}{n}} $ Laquelle est la plus proche du résultat ?

Maple me donne la première valeur a°) (la limite de d_n n'est même pas 0 alors ! :evil: ). En bidouillant j'obtiens b°) qui est plus cohérent (d_n semble tendre vers 0 après quelques tracés de courbes, puis on voit que 180 et $ \pi $ apparaissent et bizarrement 180 °= $ \pi $ rad 8) )

Méthode: $ d_n^2 $ est le min de $ g_n(x)=x^2 + cos^{2n}(x) $ puis on étudie cette fonction...

A l'aide guigui !, comment as-tu fait ? En quoi l'exo est-il "zolie" (tout ce que j'ai fait est très moche, même si je sais que c'est complètement faux :mrgreen: )???
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 16:20

Bonjour.
En étudiant $ g_n $, je trouve $ d_n \approx \sqrt{\frac{\ln(n)}{n}} $.

Voici une approche pas trop rigoureuse, mais que l'on pourrait rendre rigoureuse en s'en donnant les moyens :
En effet, $ g_n(x)=x^2 + \cos^{2n}(x) $ donc $ g_n'(x)=2x + -2n \sin(x) \cos^{2n-1}(x) $. Quand $ n \to \infty $, $ g_n'(\frac{2}{n}) < 0 $, donc on peut se restreindre à étudier $ g_n $ sur $ [0,\frac{2}{n}] $.
Notamment, $ sin(x) \approx x $, donc $ g_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x)^{2n-1} \approx \frac{1}{n} \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow (2n-1) \ln(\cos(x)) \approx -\ln(n) \Leftrightarrow -n x^2 \approx -\ln(n) \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow x^2 \approx x_n^2 = \frac{\ln(n)}{n} $.
Donc $ d_n^2 = \min g_n(\mathbb{R}) \approx g_n(x_n) = x_n^2+\cos(x\n)^{2n} \approx \frac{\ln(n)}{n}+\frac{1}{n} \approx \frac{\ln(n)}{n} $.
D'où le résultat.

Bon, après, étant donné le manque de rigueur dont j'ai fait preuve, je ne garantis rien, hein... (surtout si quelqu'un me montre que je me suis trompé !)

Edit : coquille corrigée
Modifié en dernier par V@J le 17 avr. 2009 17:45, modifié 2 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 17:18

Re,

colis > ma méthode est celle de V@J, donc bien joué V@J !!!

Et j'ai trouvé l'exercice joli parce qu'à partir d'une constatation géométrique simple on peut en tirer un calcul d'analyse.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 17:23

V@J: Bravo, c'est vraisemblablement correct à la bonne écriture près $ \sqrt{\frac{ln(n)}{n}} $.
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur). :D
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 17:27

Ah Maple le fourbe :lol:

( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )

Merci à vous deux d'avoir cherché :wink:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 17:48

Autre exo beaucoup plus facile que le premier que j'ai posté :

Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.

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