Exos sympas MP(*)

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V@J

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 16:20

Bonjour.
En étudiant $ g_n $, je trouve $ d_n \approx \sqrt{\frac{\ln(n)}{n}} $.

Voici une approche pas trop rigoureuse, mais que l'on pourrait rendre rigoureuse en s'en donnant les moyens :
En effet, $ g_n(x)=x^2 + \cos^{2n}(x) $ donc $ g_n'(x)=2x + -2n \sin(x) \cos^{2n-1}(x) $. Quand $ n \to \infty $, $ g_n'(\frac{2}{n}) < 0 $, donc on peut se restreindre à étudier $ g_n $ sur $ [0,\frac{2}{n}] $.
Notamment, $ sin(x) \approx x $, donc $ g_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x)^{2n-1} \approx \frac{1}{n} \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow (2n-1) \ln(\cos(x)) \approx -\ln(n) \Leftrightarrow -n x^2 \approx -\ln(n) \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow x^2 \approx x_n^2 = \frac{\ln(n)}{n} $.
Donc $ d_n^2 = \min g_n(\mathbb{R}) \approx g_n(x_n) = x_n^2+\cos(x\n)^{2n} \approx \frac{\ln(n)}{n}+\frac{1}{n} \approx \frac{\ln(n)}{n} $.
D'où le résultat.

Bon, après, étant donné le manque de rigueur dont j'ai fait preuve, je ne garantis rien, hein... (surtout si quelqu'un me montre que je me suis trompé !)

Edit : coquille corrigée
Modifié en dernier par V@J le 17 avr. 2009 17:45, modifié 2 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 17:18

Re,

colis > ma méthode est celle de V@J, donc bien joué V@J !!!

Et j'ai trouvé l'exercice joli parce qu'à partir d'une constatation géométrique simple on peut en tirer un calcul d'analyse.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 17:23

V@J: Bravo, c'est vraisemblablement correct à la bonne écriture près $ \sqrt{\frac{ln(n)}{n}} $.
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur). :D
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 17:27

Ah Maple le fourbe :lol:

( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )

Merci à vous deux d'avoir cherché :wink:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 17 avr. 2009 17:48

Autre exo beaucoup plus facile que le premier que j'ai posté :

Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 17 avr. 2009 17:55

Ah, j'avais pas pensé utiliser le fait les sous anneaux de $ \mathbb{Q} $ sont les $ \mathbb{Z}[F] $ pour résoudre ton premier exo. Merci pour l'indication.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 18:04

colis > trop tard j'ai vu ce que tu attends comme petit cadeau ^^ Deux exos sur les séries, le premier assez simple, le deuxième un brin plus ardu, mais vous allez les torcher!
Soit $ \displaystyle p_n $ le nombre de chiffres dans l'écriture de l'entier $ \displaystyle n $ en base $ \displaystyle 10 $.
Nature et somme éventuelle de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{p_n}{n(n+1)} $
Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $
En plus c'est des classiques.

Sinon, des exos de MP que je ne saurais pas résoudre :( (mais je dispose des solutions ..)
On note $ \displaystyle p(n) $ le plus grand diviseur premier de $ n $.

Montrer que la série $ \displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.
On considère la suite $ \displaystyle (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ croissante des racines réelles positives de l'équation $ \displaystyle \tan(x)=x $.

Montrer que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10} $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 17 avr. 2009 18:06

Un exo choupi :
- Soit $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ une suite à valeurs dans $ [0,1] $. A quelle condition (NS) $ (.|.) $ défini par $ (f|g) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(a_{n})g(a_{n})}{2^{n}} $ est-il un produit scalaire sur $ E = C^{0}([0,1],\mathbb{R}) $?
- Soient $ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ et $ (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ deux suites qui vérifient cette condition, montrer que les normes associées sont équivalentes => $ \{a_{n}, n\in \mathbb{N} \} = \{b_{n}, n \in \mathbb{N} \} $
- $ (E,\sqrt{(.|.)}) $ est-il complet?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 17 avr. 2009 18:08

Le premier : il faut et il suffit que la suite (a_n) soit dense dans [0,1], me trompé-je ? :)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 17 avr. 2009 18:23

tu ne te trompé-je pas :)
La suite? :D
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