), je pense avoir une réponse mais elle me paraît assez moche :Soit $ A >0 $ (en réalité, on pourrait prendre n'importe quoi, comme $ A=100 $), $ F $ étant continue sur $ \mathbb{R}^N $, elle admet un minimum $ F(u_1) $ qu'elle atteint sur le fermé borné $ \mathcal{B}_f (0,A) $. Comme $ \displaystyle \lim_{\| v \| \rightarrow +\infty}{F(v)}=+\infty $, il existe $ B >0 $ tel que pour tout $ v $ vérifiant $ \| v \| > B $, on ait $ F(v) > F(u_1) $. Donc un éventuel minimum de $ F $ ne se trouvera pas hors de la boule fermée de centre $ 0 $ et de rayon $ B $. Par contre, à l'intérieur de cette même boule, qui est un fermé borné de $ \mathbb{R}^N $, on peut trouver $ u_2\in \mathbb{R}^N $ tel que $ F(u_2)=\underset{v \in \mathcal{B}_f (0,B) }{\min F(v) } $, par continuité de $ F $.
$ F $ admet donc un minimum global sur $ \mathbb{R}^N $, atteint en $ u_2 $.
