linalg difficile (mp*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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linalg difficile (mp*)

Message par ringo » 11 sept. 2009 18:54

Pour ceux qui aiment les defis , voici un exercice d'algebre lineaire qui , en dimension finie est facile , mais tout change endimension infinie .
montrez que pour tout x de E prive de 0 , avec E un espace vecoriel de dimension qlqce , il existe une forme lineaire f sur E tel que f(x) est non nulle . il faudra ajouter qu'on ne doit pas utiliser l'existence d'une base en dimensin infinie !!

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Message par Madec » 11 sept. 2009 19:26

"il faudra ajouter qu'on ne doit pas utiliser l'existence d'une base en dimensin infinie !!"

je suppose que de ce fait on ne peut pas utiliser le fait que toute droite vectorielle admet un supplémentaire ?

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par ringo » 11 sept. 2009 19:32

malheureusement oui , a moins de trouver un moyen de le demontrer sans le lemme de zorn et donc sans l'axiome du choix
faut avouer que notre prof a ete tres mechant sur ce coup la !!

YLS

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Message par YLS » 11 sept. 2009 19:45

Mais toutes ces propositions ne sont-elles pas équivalentes?
Parce que (et c'était peut-être l'idée de Madec), la projection vectorielle sur $ \mathrm{Vect}(x) $ pour $ x\in E \setminus \{\vec{0}\} $ est une forme linéaire telle que $ f(x)\neq \vec{0} $. Cette projection vectorielle n'étant définie que si on peut montrer que $ E=\mathrm{Vect}(x) \oplus G $, c'est-à-dire que $ \mathrm{Vect}(x) $ possède un supplémentaire dans $ E $ de dimension non nécessairement finie...
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Message par ringo » 11 sept. 2009 19:55

oui mais il faudrais d'abord prouver qu'il existe G tel que E=vect(x)+G et ceci sans passer par le fait que E admet une base

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par esta-fette » 12 sept. 2009 15:17

on considère R comme espace vectoriel sur Q......

et le nombre PI.....

comment définissez vous la forme linéaire qui n'est pas nulle sur PI?

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par ringo » 12 sept. 2009 20:38

je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par Madec » 12 sept. 2009 20:56

Help pour cet exo !

John

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par esta-fette » 12 sept. 2009 21:03

ringo a écrit :je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?
On sait qu'elle existe, mais on ne peut pas l'expliciter, cela me donne l'impression que ça dépend de l'axiome du choix........
donc qu'il faut passer par le théorème de la base incomplète......

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Re: linalg difficile (mp*)

Message par ringo » 12 sept. 2009 22:53

Madec a écrit :Help pour cet exo !

John
ne me dites pas que votre prof vous a pose le meme exo ?!!
esta-fette a écrit :
ringo a écrit :je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?
On sait qu'elle existe, mais on ne peut pas l'expliciter, cela me donne l'impression que ça dépend de l'axiome du choix........
donc qu'il faut passer par le théorème de la base incomplète......
si c'est le cas , ca depasse les capacites du pauvre 5/2 que je suis !! je ne sais vrmt pas a koi pensait notre prof quand il nous a pose l'exo !!

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