linalg difficile (mp*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 1660

Enregistré le : 03 févr. 2007 21:16

Localisation : Athis-Mons

Re: linalg difficile (mp*)

Message par bourricot » 18 sept. 2009 21:05

Thaalos a écrit :Moi je dirais bien que si toute forme linéaire est nulle en x, alors x est nul, mais je ne sais pas si c'est vrai.
Oui, puisqu'il existe une f.l. qui ne s'annule pas en x dès lors que x est non nul. Mais ça n'est pas l'objet de la question. Ici on cherche une f.l. qui "dépend" du x choisi.
Alexandre Pacini
http://apacini.free.fr

Messages : 1931

Enregistré le : 20 janv. 2009 00:21

Classe : Fini.

Localisation : Saclay

Re: linalg difficile (mp*)

Message par Thaalos » 18 sept. 2009 21:45

C'est ce que je cherchais à démontrer, s'il n'en existe pas, x est nul, ce qui est absurde.
Mais j'aimerais prouver que s'il n'existe aucune forme linéaire qui soit non nulle en x, alors x est nul.
Nothing is too hard, many things are too fast.

Messages : 1660

Enregistré le : 03 févr. 2007 21:16

Localisation : Athis-Mons

Re: linalg difficile (mp*)

Message par bourricot » 18 sept. 2009 22:18

Thaalos a écrit :Mais j'aimerais prouver que s'il n'existe aucune forme linéaire qui soit non nulle en x, alors x est nul.
Cette proposition est la contraposée de l'énoncé de Ringo...

Qui est immédiat : [EDIT : grosse bêtise !]
Modifié en dernier par bourricot le 18 sept. 2009 22:36, modifié 1 fois.
Alexandre Pacini
http://apacini.free.fr

V@J

Messages : 2860

Enregistré le : 22 janv. 2009 17:15

Re: linalg difficile (mp*)

Message par V@J » 18 sept. 2009 22:24

bourricot a écrit :
Thaalos a écrit :Mais j'aimerais prouver que s'il n'existe aucune forme linéaire qui soit non nulle en x, alors x est nul.
Cette proposition est la contraposée de l'énoncé de Ringo...

Qui est immédiat : prendre f(kx)= k et f nulle partout ailleurs.
Ce n'est pas très, très linéaire, tout ça...
D'autre part, en farfouillant sur Internet, je suis tombé sur http://books.google.fr/books?id=NOJEbBv ... q=&f=false, qui tend à prouver que l'énoncé de Ringo est équivalent à l'axiome du choix, donc à l'existence de bases dans tout espace vectoriel.

Messages : 382

Enregistré le : 06 août 2006 22:13

Classe : X08 4A

Re: linalg difficile (mp*)

Message par Shindara » 18 sept. 2009 22:54

Bon, si quelqu'un qui trouve ça tellement évident nous donnait sa solution ou une direction au moins, parce que moi (et apparemment je ne suis pas le seul) je ne vois vraiment pas...
Dadin, par exemple...

Messages : 1660

Enregistré le : 03 févr. 2007 21:16

Localisation : Athis-Mons

Re: linalg difficile (mp*)

Message par bourricot » 18 sept. 2009 23:07

Effectivement, j'ai écrit une bêtise. D'autant que j'étais persuadé que l'on ne pouvait se passer de l'axiome du choix (ou équivalent) pour prouver le résultat, comme c'est le cas en analyse quand on cherche des formes linéaires continues et non nulles !

Je vais méditer mon premier message :oops:.
Alexandre Pacini
http://apacini.free.fr

Messages : 1660

Enregistré le : 03 févr. 2007 21:16

Localisation : Athis-Mons

Re: linalg difficile (mp*)

Message par bourricot » 18 sept. 2009 23:18

L'énoncé de Ringo est immédiat si l'on admet le résultat qui dit que tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Je ne sais plus (pas ? :wink:) si ce résultat nécessite un équivalent de l'AC en dimension infinie.

En fait, ça revient à prendre comme forme linéaire la composée de l'application de Kx dans K qui à kx associe k avec la projection de l'espace entier sur la droite Kx. Cette fois-ci on a bien une application linéaire de E dans K, et elle est non nulle en x.
Modifié en dernier par bourricot le 18 sept. 2009 23:29, modifié 1 fois.
Alexandre Pacini
http://apacini.free.fr

Messages : 790

Enregistré le : 23 oct. 2008 23:49

Re: linalg difficile (mp*)

Message par Dadin » 19 sept. 2009 01:00

Je tiens à m'excuser, j'avais mal lu la question mais cela me semblait étrange également que tout le monde cherchait si compliqué alors que j'avais une solution (très) simple sous les yeux. Solution qui ne répondais pas au problème qui était posé, mais à un autre, celui que j'avais cru lire... Cela m'apprendra à lire trop vite.

Le théorème d'Hahn Banach répond en tout cas à ta question en montrant que pour tout x de E, il existe, par exemple, une forme linéaire f tq f(x) = ||x||. Mais bon, cela fait intervenir l'axiome du choix, (sauf si E est de Hilbert ou autres cas très particuliers). J'ai pas réfléchi plus sur la question, c'est la première chose qui m'est venu à l'esprit.

Encore désolé pour avoir mal lu et avoir annoncé que la solution est niveau sup (ce qui est peut-être le cas, mais je ne vois pas).

Messages : 229

Enregistré le : 27 juil. 2009 18:59

Re: linalg difficile (mp*)

Message par esta-fette » 19 sept. 2009 10:24

au risque de me répéter:

démontrer ce qui est demander, implique de savoir résoudre celui-ci.


on considère R comme espace vectoriel sur Q......
et le nombre PI.....
comment définissez vous la forme linéaire qui n'est pas nulle sur PI?


et mon opinion est que c'est impossible de définir explicitement une telle forme linéaire sans utiliser l'axiome du choix.

YLS

Messages : 578

Enregistré le : 08 avr. 2007 16:09

Localisation : Rennes

Re: linalg difficile (mp*)

Message par YLS » 19 sept. 2009 12:19

Toutes les solutions proposées ici induisent au choix (sans jeu de mots) :
- l'existence d'une base infinie
- l'existence d'un supplémentaire (et donc de projections vectorielles)
- l'existence d'un produit scalaire

D'où l'idée que toutes ces propositions sont équivalentes à l'énoncé, et entre autres (comme le dit V@J) à l'axiome de choix.
HEC-ENSAE (2010-2015)
L3 Maths fondamentales UPMC Paris 6 (2010-2011)
World Community Grid

Répondre