Bonjour, j'ai un DM qui m'a été donné pour quelques jours après la rentrée et j'avoue que j'ai un peu de mal.
La question sur laquelle je bloque est la suivante, montrer que 1+1/r2+1/r3+....+1/rn>rn (le r signifie racine, je sais pas comment écrire la racine ^^)
Après quelques transformations, j'arrive à ceci: 1/rn+1/r2*n+1/r3*n+...+1/n>1
J'ai pensé dire que comme n E N, on a deja 1/rn et 1/n sont au minimum égaux à 1 et donc que la somme sera toujours superieure à 1.
Le problème c'est que dans cette question, on ne défini pas n, dans la question suivante, on nous demande une démo pour tout n>=1.
Peut on démontrer la première inégalité pour tout n ou bien seulement à la condition donnée dans la 2ème question?
Merci de votre aide.
Suites, Séries, Proba (BCPST)
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Par récurrence tu connais ?
(> correspond au supérieur ou égal et r à la racine)
Soit P(n) :" 1 + 1/r2 + ... + 1/rn > rn "
P(1) est vrai car 1 > r1 = 1
S.q. que P(n) soit vrai alors 1 + 1/r2 + ... + 1/rn > rn
M.q. 1 + 1/r2 + ... + 1/rn + 1/r(n+1) > r(n+1)
C.a.d 1/r(n+1) > r(n+1) - r(n)
C.a.d 1 > n+1 - r(n+1)r(n)
Ceci est vrai car r(n+1)r(n) > r(n)² = n
donc n+1 - r(n+1)r(n) < n+1 - n = 1
On conclut par récurrence, P(n) est vrai pour tout n > 1
(> correspond au supérieur ou égal et r à la racine)
Soit P(n) :" 1 + 1/r2 + ... + 1/rn > rn "
P(1) est vrai car 1 > r1 = 1
S.q. que P(n) soit vrai alors 1 + 1/r2 + ... + 1/rn > rn
M.q. 1 + 1/r2 + ... + 1/rn + 1/r(n+1) > r(n+1)
C.a.d 1/r(n+1) > r(n+1) - r(n)
C.a.d 1 > n+1 - r(n+1)r(n)
Ceci est vrai car r(n+1)r(n) > r(n)² = n
donc n+1 - r(n+1)r(n) < n+1 - n = 1
On conclut par récurrence, P(n) est vrai pour tout n > 1
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
J'avait pensé aussi par récurrence, mais d'abord c'est pas un superieur ou égal, c'est un superieur strict et en plus, on ne définit pas de suite ni n comme appartenant à N, donc je pensait pas que l'on pouvait appliquer la récurrence dans ce cas ci.
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
No comment...harlem49 a écrit :J'avait pensé aussi par récurrence, mais d'abord c'est pas un superieur ou égal, c'est un superieur strict et en plus, on ne définit pas de suite ni n comme appartenant à N, donc je pensait pas que l'on pouvait appliquer la récurrence dans ce cas ci.
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Ça ne choque que moi, ça ?
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant n \min \left(\left\{\left.\frac{1}{\sqrt{k}} \right| 1 \leqslant k \leqslant n\right\} \right) $
et $ n \min \left(\left\{\left.\frac{1}{\sqrt{k}} \right| 1 \leqslant k \leqslant n\right\} \right) = \frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n} $
Reste à montrer que l'inégalité est stricte, ce qui n'est pas difficile.
Bon, sinon, moins brutal que la récurrence :harlem49 a écrit : J'ai pensé dire que comme $ n \in \mathbb{N} $, on a deja $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ et $ \frac{1}{n} $ sont au minimum égaux à 1
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant n \min \left(\left\{\left.\frac{1}{\sqrt{k}} \right| 1 \leqslant k \leqslant n\right\} \right) $
et $ n \min \left(\left\{\left.\frac{1}{\sqrt{k}} \right| 1 \leqslant k \leqslant n\right\} \right) = \frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n} $
Reste à montrer que l'inégalité est stricte, ce qui n'est pas difficile.
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Je me demandais s'il était possible de prouver cette inégalité en utilisant le discriminant d'un trinôme, après avoir chercher je ne tombe jamais sur la bonne inégalité... quelqu'un saurait ?
PS : de rien harlemm49
PS : de rien harlemm49
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Désolé je voulait dire N+*
Sans rancune asymetric.
Merci pour vos réponses.
Sans rancune asymetric.
Merci pour vos réponses.
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Ecoute harlem49, je ne cherche pas à me disputer... je ne sais pas pourquoi tu me provoques.harlem49 a écrit :Désolé je voulait dire N+*
Sans rancune asymetric.
Merci pour vos réponses.
Sinon, marque plutôt $ \mathbb{Z}^{+*} $ que $ \mathbb{N}^{+*} $ ... ou encore $ \mathbb{N}^{*} $.
Re: Suites, Séries, Proba (BCPST)
Désolé Asymetric, moi non plus je ne veux pas me disputer et j'avait pas l'impression de te provoquer, c'est juste que j'ai pas trouvé ta premiere reponse particulierement utile mais en revanche les suivantes l'étaient.