Voilà mon problème:
f appartient à C2 sur R.
lim (f) en l'infini=0
quid de lim(f') en l'infini?
Je penchais vers une solution où l'on trouvait f' tendant vers 0, mais l'énoncé préconise de trouver un contre exemple...
Cet exercice m'a tout l'air d'un classique.
Limite d'une fonction en +infini
Tout d'abord, démontrer le résultat suivant:
si f est C2 sur R et f et f" bornées (de sup respectifs M0 et M2), f' est bornée et son sup M1 vérifie M1=0, on écrit l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 en a+h et a-h, on fait la différence, et on majore f'(a) par une quantité dépendant de h; on cherche alors le minimum de cette quantité pour h>0. Bien sûr, je te laisse les détails...
En remplaçant "bornées" par "tendent vers 0 en +infini", c'est presque pareil: si on prend un e>0, il existe un A tel que, pour x>=A, f et f" sont bornées en valeur absolue par e. Après, c'est un peu technique, il faut voir comment augmenter A pour pouvoir appliquer le résultat précédent (puisqu'ici la majoration par e n'est pas vraie sur R, seulement sur [A, +infini[).
Un excellent exercice d'analyse de sup.
si f est C2 sur R et f et f" bornées (de sup respectifs M0 et M2), f' est bornée et son sup M1 vérifie M1=0, on écrit l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 en a+h et a-h, on fait la différence, et on majore f'(a) par une quantité dépendant de h; on cherche alors le minimum de cette quantité pour h>0. Bien sûr, je te laisse les détails...
En remplaçant "bornées" par "tendent vers 0 en +infini", c'est presque pareil: si on prend un e>0, il existe un A tel que, pour x>=A, f et f" sont bornées en valeur absolue par e. Après, c'est un peu technique, il faut voir comment augmenter A pour pouvoir appliquer le résultat précédent (puisqu'ici la majoration par e n'est pas vraie sur R, seulement sur [A, +infini[).
Un excellent exercice d'analyse de sup.
Mais c'est pas la question posée par hibou ?? Il veut comme hypothèse lim(f)=0 et s'interroge sur lim(f'). Et toi, tu lui proposes une fonction f tq lim(f')=0 et lim(f)=+oo. Ou alors c'est moi qui ne comprends plus rien ?azertyqsdfg a écrit :en fait f' ne tend pas forcément vers 0 ; le contre exemple c'est la fonction f=ln (f' tend vers 0 mais pas f)
La question initiale était: si f->0, est-ce que f' aussi? La réponse est non, mais le contre-exemple donné ne répondait pas à la question (mais à une autre question: est-ce que f'->0 implique f converge?).Teteph a écrit :Mais c'est pas la question posée par hibou ?? Il veut comme hypothèse lim(f)=0 et s'interroge sur lim(f'). Et toi, tu lui proposes une fonction f tq lim(f')=0 et lim(f)=+oo. Ou alors c'est moi qui ne comprends plus rien ?azertyqsdfg a écrit :en fait f' ne tend pas forcément vers 0 ; le contre exemple c'est la fonction f=ln (f' tend vers 0 mais pas f)
Pour la question initiale, donc: prenons f(x)=sin(e^{x})/x. Elle tend vers 0 en +infini, mais sa dérivée n'a même pas de limite.
Cependant, avec l'hypothèse supplémentaire f"->0, il est vrai que f' tend forcément vers 0.
Voili voilou.
J'adore l'imagination (la perversité ?) qu'ont les mathématiciens !Mû a écrit :prenons f(x)=sin(e^{x})/x.
Notre prof avait un super contre-exemple de fonction "qui va pas" en 0 : exp(-1/x^2). Je m'en souviens encore !
C'est aussi pour ça que je préfère faire de la physique et lire les trucs de math !
Les hôpitaux sont les lieux les plus dangereux de France : c'est là qu'on y meurt le plus.
Matthieu Rigaut
Physique PC*,
Fabert (Metz)
Cours, DM, DS, TD donnés à mes étudiants
Me prévenir par MP pour modérer un message
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Pour ma part, j'appellerais ça de la perversité.CBP a écrit :J'adore l'imagination (la perversité ?) qu'ont les mathématiciens !Mû a écrit :prenons f(x)=sin(e^{x})/x.
exp(-1/x^2). Je m'en souviens encore !
C'est aussi pour ça que je préfère faire de la physique et lire les trucs de math !
Mais ce genre de fonction à la noix sert juste à se rendre compte de l'imperfection d'une définition sensée être intuitive.
Dans les cas qui nous intéresse, on a heureusement depuis inventé la notion de fonction analytique, qui se comporte vraiment bien (i.e. localement somme de leur série de Taylor, ce qui est assez sympa quand même).
en 0CBP a écrit :J'adore l'imagination (la perversité ?) qu'ont les mathématiciens !
exp(-1/x^2). Je m'en souviens encore !
lim x^2 = 0
lim (-1/x^2) = -oo
lim (exp (-1/x^2)) = 0
... non ?
un exemple de fonction bizarre en 0 serait plus simplement f(x) = sin (1/x), non ?