partie finie

[Isabella]

Pour moi, si la suite un est plus petite que la suite vn alors à chaque rang n, le terme de la suite un est inférieur à celui de la suite vn.
Et pour trouver le plus petit élément de l'ensemble des suites, j'essaie de trouver le plus petit élément de chaque suite et de les comparer, mais je pense qu'on est ramené au même problème que la comparaison de deux suites si l'ensemble est infini..

[MFred]

Pour moi, si la suite un est plus petite que la suite vn alors à chaque rang n, le terme de la suite un est inférieur à celui de la suite vn.

Ce n'est pas la définition qu'on t'a donné :

J'ai oublié de préciser qu'on définit sur E la relation << par: (xn)<<(yn) équivaut à (xn)=(yn) ou si (xn)≠(yn), xp<yp pour p=min(k∈N*/xk≠yk). On a montré dans la question précédente que c'était une rleation d'ordre totale

[Shindara]

Pour moi, si la suite un est plus petite que la suite vn alors à chaque rang n, le terme de la suite un est inférieur à celui de la suite vn.

Non, ce n'est pas ça. D'ailleurs, avec ce que tu proposes, ta relation d'ordre ne serait pas totale. Comment compares tu deux suites $ u $ et $ v $ telles que $ u_1 > v_1 $ et $ u_2 < v_2 $ ?

La relation qu'on te propose est la suivante :
Pour comparer deux suites $ u $ et $ v $, on regarde le premier indice $ n $ tel que $ u_n \neq v_n $. Si $ u_n > v_n $, alors $ u > v $ et réciproquement . Il y a toujours un tel indice, sauf si tes suites sont égales, et alors évidemment $ u=v $.
Je te propose de vérifier que cela donne bien une relation d'ordre totale (le plus dur à vérifier sera la transitivité, mais rien de bien compliqué), et après tu pourras attaquer ton exercice plus sereinement !

[Isabella]

Mais dans cette définition, xp<yp, xp et yp ne désignent-ils pas des termes de la suite et non la suite entière? J'ai remis en question ma démonstration pour prouver que la relation était totale, justement parce que je voyais pas comment montrer qu'on avait forcément (xn)<(yn) ou (yn)<(xn)...

[pikachuyann]

$ p $ est défini (d'après tes posts précédents) par: $ p=\textrm{min}(k \in \mathbb{N}^{*} /x_{k} \neq y_{k}) $. $ p $ est donc unique, donc $ x_{p} $ et $ y_{p} $ sont bien des termes des deux suites, mais pas toutes les suites.

Envisage le classement comme (ça a été dit dans un post d'avant, je ne fais que reprendre l'idée) si les nombres étaient des lettres et les suites deux mots formés à partir de lettres, et que l'on tente de classer ces mots comme dans un dictionnaire. Ça représente à peu près le type d'ordre

( Relis bien, dès fois que j'ai écrit de nouveau n'importe quoi )

[LB]

Pour t'expliquer ta relation d'ordre avec les mains : tu prends tes deux suites, si elles ne sont pas égales tu vas au premier rang où elles diffèrent, et celle qui a ce rang plus grande que l'autre, est déclarée plus grande que l'autre.

Il faut bien sûr utiliser cette relation d'ordre là quand on parle de "plus petit élément" dans tes questions suivantes ! Il faut toujours tenir compte du début d'un exercice quand on s'attaque à la suite (sans mauvais jeu de mot) !

[Isabella]

Je viens de comprendre merci beaucoup!

[Isabella]

Je sollicite une fois de plus votre aide car j'aimerais savoir si la formulation de ma réponse est correcte s'il vous plait pour la question "montrer que toute partie finie non vide de E admet un plus petit élément": Comme cette partie est finie, on peut numéroter ses éléments et comme la relation d'ordre est totale on peut les comparer deux à deux, donc déterminer un plus petit élément.
"Montrer que toute partie infinie de E admet une borne sup": Une partie finie admet un plus petit élément, donc une partie infinie, étant composée de plusieurs parties finies, en admet également un parmi ceux de chaque partie finie, cad un minimum. On peut donc la minorer par un élément de E. Comme tous les élements de E sont comparables, on peut déterminer le plus grand des minorants cad la borne sup.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Deviling]

Si F est une partie finie de E, on comparer ses éléments et les ordonner afin de trouver un minimum.

Si F est infini, c'est faux !
Exemple : Soit pour k dans N la suite : u(k)n qui vaut 0 si n < k et 1 sinon.
On note F = ensemble des suite u(k)n pour k dans N.
Tu trouveras que F n'admet pas de plus petit élément.

Néanmoins tu peux nuancer:
Toute partie infini de F admet une borne inf car elle est minoré par la suite nulle
Toute partie infini de F contenant la suite nulle admet donc un plus petit élément

NB : Tu confond borne inf et borne sup et ton raisonnement est totalement faux.
Une partie infini est composé d'une infinité de partie finie donc tu tourne en rond.

[Isabella]

Oui pour borne sup et borne inf , j'ai confondu bêtement les deux.. Merci beaucoup pour ta réponse, je n'avais pas pensé à introduire la suite nulle.