Matrices, puissances, binôme de Newton
Matrices, puissances, binôme de Newton
Bonjour à tous,
Je bloque un peu sur un exercice :
Soit A la matrice (3,3) triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont égaux à 2, tous les autres coefficients non nuls étant égaux à 1.
Soit $ N=A-2I_{3} $. Calculer $ N^{k} $ pour tout entier naturel k.
Calculer $ A^{p} $ pour tout entier naturel p.
On a donc $ A=\[
\left (
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right )
\] $
J'ai vérifié que $ A.(-2I_{3})=-2I_{3}.A $ . On peut donc appliquer le binôme de Newton (car ce sont des matrices (3,3) ), ce qui donne :
$ N^{k}=(A-2I_{3})^{k}=\sum_{j=0}^{k}(\[\left (\begin{array}{ccc}k\\j \\ \end{array} \right ) \]. A^{j}.(-2I_{3})^{k-j} $
expression (1)
Seulement, je n'arrive pas à simplifier cette expression.
J'ai ensuite dit que $ A=N+2.I_{3} $ J'ai vérifié également que $ N.2I_{3}=2.I{3}.N $, donc j'ai appliqué le binôme de Newton, ce qui donne :
$ A^{p}=(N+2I_{3})^{p}=\sum_{j=0}^{p}(\[\left (\begin{array}{ccc}p\\j \\ \end{array} \right ) \]. N^{j}.(2I_{3})^{p-j} $
En remplacant avec l'expression (1), j'obtiens :
$ A^{p}=(N+2I_{3})^{p}=\sum_{j=0}^{p}(\[\left (\begin{array}{ccc}p\\j \\ \end{array} \right ) \]^{2}. A^{j}.(-4I_{3})^{p-j} $
Et, je ne sais pas trop quoi faire pour vraiment calculer ces deux expressions, car je ne pense pas que l'exercice s'arrête là.
Si vous avez une idée.
Merci d'avance et bonne soirée
Je bloque un peu sur un exercice :
Soit A la matrice (3,3) triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont égaux à 2, tous les autres coefficients non nuls étant égaux à 1.
Soit $ N=A-2I_{3} $. Calculer $ N^{k} $ pour tout entier naturel k.
Calculer $ A^{p} $ pour tout entier naturel p.
On a donc $ A=\[
\left (
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right )
\] $
J'ai vérifié que $ A.(-2I_{3})=-2I_{3}.A $ . On peut donc appliquer le binôme de Newton (car ce sont des matrices (3,3) ), ce qui donne :
$ N^{k}=(A-2I_{3})^{k}=\sum_{j=0}^{k}(\[\left (\begin{array}{ccc}k\\j \\ \end{array} \right ) \]. A^{j}.(-2I_{3})^{k-j} $
expression (1)
Seulement, je n'arrive pas à simplifier cette expression.
J'ai ensuite dit que $ A=N+2.I_{3} $ J'ai vérifié également que $ N.2I_{3}=2.I{3}.N $, donc j'ai appliqué le binôme de Newton, ce qui donne :
$ A^{p}=(N+2I_{3})^{p}=\sum_{j=0}^{p}(\[\left (\begin{array}{ccc}p\\j \\ \end{array} \right ) \]. N^{j}.(2I_{3})^{p-j} $
En remplacant avec l'expression (1), j'obtiens :
$ A^{p}=(N+2I_{3})^{p}=\sum_{j=0}^{p}(\[\left (\begin{array}{ccc}p\\j \\ \end{array} \right ) \]^{2}. A^{j}.(-4I_{3})^{p-j} $
Et, je ne sais pas trop quoi faire pour vraiment calculer ces deux expressions, car je ne pense pas que l'exercice s'arrête là.
Si vous avez une idée.
Merci d'avance et bonne soirée
Dernière modification par deadhead_08 le 09 mai 2010 20:23, modifié 1 fois.
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Plusieurs remarques :
Fais le calcul des puissances de N à la main, tu vas voir c'est magique :p
La matrice identité commute avec toutes les matrices !(mais c'est très bien de vérifier la commutativité avant d'utiliser la formule du binôme)
Le calcul des puissances de A sera plus simple une fois le point 1 établi ^^
Fais le calcul des puissances de N à la main, tu vas voir c'est magique :p
La matrice identité commute avec toutes les matrices !(mais c'est très bien de vérifier la commutativité avant d'utiliser la formule du binôme)
Le calcul des puissances de A sera plus simple une fois le point 1 établi ^^
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
J'ai
$ N=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{2}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{b}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] pour tout b\in N, b\geq 3 $
Donc, en fait, mes sommes vont aller de 0 à 2, ce qui donne 3 termes à chaque fois, donc une expression calculable (car nombre fini et "petit" de termes) ?
$ N=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{2}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{b}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] pour tout b\in N, b\geq 3 $
Donc, en fait, mes sommes vont aller de 0 à 2, ce qui donne 3 termes à chaque fois, donc une expression calculable (car nombre fini et "petit" de termes) ?
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Oui.deadhead_08 a écrit :J'ai
$ N=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{2}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] $ et donc $ N^{b}=\[\left (\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right )\] pour tout b\in N, b\geq 3 $
Donc, en fait, mes sommes vont aller de 0 à 2, ce qui donne 3 termes à chaque fois, donc une expression calculable (car nombre fini et "petit" de termes) ?
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Quand une méthode ne permet pas de s'en sortir, après un temps de recherche raisonnable, il faut en essayer une autre.deadhead_08 a écrit :Seulement, je n'arrive pas à simplifier cette expression.
Nothing is too hard, many things are too fast.
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Je trouve donc : $ N^{k}=(A-2.I_{3})^{2} $
et $ A^{p}=(A-4.I_{3})^{2} $
Mais je suppose que vous avez la flemme de faire les calculs xD
et $ A^{p}=(A-4.I_{3})^{2} $
Mais je suppose que vous avez la flemme de faire les calculs xD
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Et si p = 0 ?
A = N + 2*I3 tu binômises ça en mettant l'indice de la somme sur N et tu vas pas avoir beaucoup de termes.
A = N + 2*I3 tu binômises ça en mettant l'indice de la somme sur N et tu vas pas avoir beaucoup de termes.
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
C'est ce que j'ai fait, je crois bien. (pour obtenir l'expression de A)poutrelle a écrit :Et si p = 0 ?
A = N + 2*I3 tu binômises ça en mettant l'indice de la somme sur N et tu vas pas avoir beaucoup de termes.
Edit : ah oui, pour p=0, c'est moins cool là
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Ton résultat est faux Quand tu écris ton binôme de Newton, tu as 3 termes non nuls pour p >= 3 :
2^p*I3, p (=1 parmi p) * 2^(p-1)*N et p(p+1)/2 (=2 parmi p) *2^(p-2)*N^2
2^p*I3, p (=1 parmi p) * 2^(p-1)*N et p(p+1)/2 (=2 parmi p) *2^(p-2)*N^2
Re: Matrices, puissances, binôme de Newton
Oui, j'ai remarqué ca...Nuhlanaurtograff a écrit :Ton résultat est faux Quand tu écris ton binôme de Newton, tu as 3 termes non nuls pour p >= 3 :
2^p*I3, p (=1 parmi p) * 2^(p-1)*N et p(p+1)/2 (=2 parmi p) *2^(p-2)*N^2
la matrice N^b (b> ou egal à 3) est la matrice nulle, alors que quand on fait le binome, la somme que tu décrit n'est pas nulle... je ne comprends pas