Intégrale embêtante

[pikachuyann]

$ \displaystyle \int_0^1 \frac{x}{x + \sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x $

Bon, cette intégrale m'embête. J'ai appliqué la méthode classique, c'est-à-dire un changement de variable en $ t=\cos(x) $ puis en $ u=\tan(\frac{t}{2}) $ mais force est de constater qu'après les calculs ont l'air vraiment très horribles.
Les quatre autres intégrales proposées dans l'exercice reposant sur des petites ruses ou petites manières de procéder à connaître, ça m'étonnerait que celle-là soit extrêmement calculatoire.

Quelqu'un aurait d'autres idées sur l'intégrale, ou une ruse permettant un calcul plus rapide?

[Vlastilin]

...erreur...

[nafpy]

Avec une petite Id remarquable on pourrait s'en sortir ... 1 = ...

[lueurmatinales]

quand je vois une racine en bas, je pense souvent à l'expression conjuguée ... peut être que ... ?
par contre je n'ai pas essayé yann, désolé

[VictorVVV]

Tu as fait x=cos(t) plutôt non ?

Après on obtient du cos*sin/(sin+cos), puis du sin(2x)/cos(x+Pi/4), donc du cos(2t)/cos(t) et ça on sait faire non ?

[nafpy]

$ 1=(x+\sqrt{1-x^2})(x-\sqrt{1-x^2}) $

[Ryuzaki]

Ah ouais, pas mal! Je crois que j'y aurais jamais pensé!

[lueurmatinales]

Ah ouais, pas mal! Je crois que j'y aurais jamais pensé!

sisi, en fesant l'expression conjuguée

[pikachuyann]

$ (x + \sqrt{1-x^2})(x - \sqrt{1-x^2}) = x^2 - (1 - x^2) = 2x^2 - 1 $.
Bon, accessoirement avec les expressions conjuguées on tombe sur du $ \displaystyle \int_0^1 \frac{x^2 - x\sqrt{1-x^2}}{2x^2 - 1} $ qui est encore moins joli à intégrer que l'expression précédente.

Bon, reste à tenter l'intégration par partie (mais je crois que ça soit complètement inutile), et une quelconque transformation qui pourrait transformer $ 1-x^2 $ en $ t^2-1 $. Mais pas sur que ça aboutisse non plus.

[Zweig]

Salut,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x ... %2B1%29%29

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