Construction d'une base duale

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Construction d'une base duale

Message par Kiwiks » 09 sept. 2010 20:35

Bonsoir

On vient de faire des bases duales et je n'arrive pas à faire un exo du bréal.

Ca dit : on considère les formes linéaires f1,f2,f3 sur R3 définies par
f1=x1+x2+x3
f2=x2-x3
f3=2x1-x2+x3
On montre d'abord que T=(f1,f2,f3) est une base de R3*.
Ensuite on nous demande de trouver la base U de R3 dont T est la duale c'est à dire trouver les vecteurs u1,u2,u3 tels que fj(ui)=relations de Kronecker. Jusqu'ici je comprends mais je n'y arrive plus après. Ils écrivent un système bizarre sans dire que sont a, b et c :
x1+x2+x3=a
x2-x3=b
2x1-x2+x3=c

Et puis ce n'est pas bizarre d'écrire que f1(u1)=1=x1+x2+x3 et en même temps f1(u2)=f1(u3)=0=x1+x2+x3

Je vous remercie de votre aide!

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Re: Construction d'une base duale

Message par fraix » 09 sept. 2010 22:52

Alors déjà, a,b,c appartiennent a IR,

Donc moi je pensais résoudre le système pour avoir x1,x2,x3 en fonction de a,b,c ce qui te donne la forme des vecteurs de ta base antéduale tel que uk=(x1,x2,x3)
puis ensuite utiliser la relation de Kronecker pour avoir trois systèmes avec 3 équations a 3 inconnues a chaque fois, soit satisfaire f1(u1)=1 f2(u1)=0 f3(u1)=0 ce qui te donne un des 3 systèmes a 3 équations et ainsi trouver a,b,c pour u1, et faire de même avec les 2 autres pour avoir les 2 autres systèmes, sauf qu'en essayant je trouve u1 mais lorsque je veux vérifier je trouve f1(u1)=1 f2(u1)=0 mais f3(u1)=2 alors je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire ou si je me suis juste trompé
CM2 a l'école primaire Jean Jaures

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Re: Construction d'une base duale

Message par mookid » 11 sept. 2010 20:14

Il s'agit de comprendre un peu ce qu'on fait.
On cherche trois vecteurs (ici de R3, on a donc trois inconnues scalaires par vecteur) vérifiant trois conditions (une par forme linéaire et ce pour chaque vecteur) sachant que le système est linéaire et de Cramer vu ce qui précède. On devrait donc y arriver.

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