Base et dimension d'algèbre

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Base et dimension d'algèbre

Message par Gudule » 20 nov. 2010 14:56

Bonjour, dans notre cours sur la réduction des endomorphismes, il y a point que je n'arrive pas à comprendre :

Lorsqu'on définit $ \mathbb K $ pour un endomorphisme u, on dit qu'il s'agit d'une sous-algèbre etc. Puis on voit qu'en cas d'existence d'un polynôme minimal de $ \mathbb K $, le degré du polynôme minimal est la dimension de l'algèbre.


Alors ma question : que désigne la base et la dimension d'une algèbre ? Est-ce la base et la dimension de l'espace vectoriel associé ? Si oui, quels seraient les vecteurs d'une base de $ \mathbb K $ ? Il me semble de plus avoir vu au détour d'une discussion que les propriétés des éléments de la base, lorsqu'on travaille sur une algèbre, ne sont plus exactement les même que dans un espace vectoriel.


Quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre ces distinctions/notions ? Merci d'avance.
Si je dis des bêtises, merci de me corriger !

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Re: Base et dimension d'algèbre

Message par MFred » 20 nov. 2010 15:34

Salut,
Gudule a écrit :Alors ma question : que désigne la base et la dimension d'une algèbre ? Est-ce la base et la dimension de l'espace vectoriel associé ? Si oui, quels seraient les vecteurs d'une base de $ \mathbb K $ ?


Oui, la dimension en question est la dimension de $ \mathbb{K} $ vu en tant que $ \mathbb{K} $ espace vectoriel. Si le polynôme minimal de u existe et est de degré n, alors la famille $ (id, u, \dots, u^{n-1}) $ constitue une base de $ \mathbb{K} $ :
- pourquoi est-elle libre ?
SPOILER:
c'est quasiment immediat à partir de la définition du polynôme minimal

- pourquoi est-elle génératrice ?
SPOILER:
penser à la division euclidienne par le polynôme minimal
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Re: Base et dimension d'algèbre

Message par LB » 20 nov. 2010 15:52

Gudule a écrit :Alors ma question : que désigne la base et la dimension d'une algèbre ? Est-ce la base et la dimension de l'espace vectoriel associé ? Si oui, quels seraient les vecteurs d'une base de $ \mathbb K $ ?

Oui. Une base de $ \mathbb K $ est $ \{Id,u,\cdots, u^{m-1}\} $ où $ m $ est le degré du polynôme minimal de $ u $.
En fait, pour "bien voir" les choses, si tu connais déjà la notion de polynôme minimal, tu peux remarquer que cette algèbre est isomorphe à "l'algèbre quotient" $ \mathbb{K}[X]/(\Pi_u) $ (qui d'ailleurs est un corps en tant qu'anneau quotienté par un idéal maximal). (Une algèbre quotient, c'est ni plus ni moins qu'un anneau quotient par un idéal de l'algèbre de départ vue comme anneau - du moins pour les algèbres commutatives et unitaires mais bon -...).
[*]
Le morphisme (vers $ \mathbb K $) est le morphisme d'évaluation en $ u $ qui est surjectif par définition de $ \mathbb K $. Son noyau est $ \Pi_u $ par définition du polynôme minimal. Ensuite, par division euclidienne il tombe directement que $ \mathbb{K}[X]/(\Pi_u) $ est de dimension $ m $.

Enfin bref, tout ça pour dire que tout marche bien. Si tu n'es pas très à l'aise avec ces notions (ce qui ne serait que normal pour le moment !) tu peux faire les choses "à la main" comme MFred, ça marche très bien aussi.
(Si tu as envie de voir que c'est un corps, tu peux trouver simplement un inverse de $ u $ en factorisant par $ u $ dans son polynôme minimal et en mettant le terme constant de l'autre côté (c'est un grand classique)) !

En fait, je pense même qu'il est important que tu fasses tout ça à la main, histoire de bien comprendre comment fonctionnent de telles algèbres.


[*] en règle générale si l'on n'a pas d'élément unité il faut prendre une nouvelle définition d'idéal pour les algèbres, et imposer la stabilité par multiplication scalaire. Et pour avoir une structure d'algèbre sur l'anneau quotient, il est impératif que l'idéal soit bilatère. Maintenant, comme en pratique les algèbres sont unitaires et commutatives (sauf pour Alain Connes :mrgreen:) il n'y a pas de problème.

PS : dans tout ceci, je définis une K-algèbre comme un K-espace vectoriel muni en plus d'une multiplication bilinéaire. Il y a plein de définitions différentes, donc il est possible que tu aies défini une algèbre comme étant déjà un anneau, donc en plus fort probablement unitaire (ça dépend encore une fois des définitions...). C'est le pain quotidien avec ce genre de vocabulaire, et tout particulièrement avec une structure riche comme une algèbre : plein de définitions différentes s'entrecroisent et il faut faire attention car en plus d'utiliser du vocabulaire et des méthodes parfois différentes, elles ne sont pas toutes équivalentes ! D'ailleurs, quand je me perds au milieu de questions techniques de vocabulaire sur les algèbres, ce sont les rares moments où je suis personnellement content de l'existence des volumes "Algèbre" de Bourbaki :mrgreen:
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/

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