exo d'algèbre pur

[blablablablablabla]

bonjour j'ai un exo d'algèbre et je n'arrive pas à fair les questions de la fin. Voila l'énoncé:

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n>1. On note H l'ensemble des sous espaces vectoriels de E dont la dimension est n-1. On rappelle que L(E,R) désigne l'espace vectoriel des applications linéaires de E dans R.

1. Soit f un élément non nul de L(E,R). Montrer que f est surjective, puis que le noyau de f appartient a H.
J'ai réussi cette question en utilisant la définition de surjectivité puis le théorème du rang pour montrer que ker(f) appartient a H.

2.Réciproquement, considérons un élément h de H.
a) Montrer qu'il existe un vecteur u de E tel que Vect(u) en somme direct avec h égale E
J'ai également réussi cette question en montrant qu'une base de vect(u) union h est une base de E.

Apartir d'ici je n'arrive plus
b) En déduire qu'il existe f dans L(E,R) tel que h=ker(f)

3.a) Vérifier que si f est un élément non nul de L(E,R), il existe v dans E tel que f(v)=1 et que ce vecteur v vérifie Vect(v) en somme direct avec ker(f) égale E.
3.b)En déduire que deux éléments non nuls de L(E,R) ayant meme noyau sont colinéaires.

4.Soit h dans H. On pose D(h)={f dans L(E,R) tel que h inclus ker(f)}
a) Vérifier que D(h) est un R espace vectoriel
b) Montrer que D(h) est de dimension finie et calculer dim D(h)

Voila si vous pouvez m'aider pour ces questions merci beaucoup

[Nuhlanaurtograff]

b) En déduire qu'il existe f dans L(E,R) tel que h=ker(f)

Construis ton application linéaire sur u et sur H à partir de ta base de E B = (u, B') où B' est une base de H. Comme tu veux H = Ker(f), envoie tous les vecteurs de B' sur 0, et choisis quelque chose de non nul pour f(u) (par exemple 1, racine de 2, 10^14...).

[poutrelle]

Salut !

Pour la 4 b) il faut construire f ' à la main '. Ca se fait très souvent dans les exercices où on considère des espaces de dimensions finies.
(il me semble qu'on le fait pour démontrer le théorème du rang, on complète une base du noyau non ?)
Ici, il s'agit de caractériser f à partir de l'image d'une base. Le choix de la base est naturel. (cf question précédente).
On peut choisir une application f telle que f(h)={0} (0 de R) et f(u)=a où a est un réel non nul.

Tu devrais pouvoir faire la 3) a) et la 3) b) avec ce que tu as réussi à faire précédemment !
La 4)a) est naturelle (caractérisation des sous-espaces), pour la 4)b) sers toi de la 3)b) (colinéarité). Tu as aussi assez facilement un majorant de la dimension de D(h).

Bon courage !

[blablablablablabla]

Merci pour les indications pour la question 2.b mais après pour les questions 3 tu dis que c'est plus ou moins evident avec les réponses d'avant mais je ne vois pas du tout comment faire.
Pouvez vous me donner une idée pour commencer

[blablablablablabla]

Bonsoir après discussion avec des amis j'ai reussi quelques autres question mais il me manque toujours la 3b et la 4b.
Voilà si vous pouviez m'aider. Merci d'avance.

[Gudule]

Une indication pour la 3b :

tu sais que les noyaux des éléments de L(E,R) sont de dimension n-1, tu peux donc écrire tout élément de E comme somme d'un élément du noyau et d'un élément bien choisi.

[blablablablablabla]

Merci je vais essayer. Et pour la 4b tu aurais pas une petite indication?

[Gudule]

Récapitulons : tu as montré en 1. que le noyau de f était de dimension n-1, donc pour h fixé, D(h) = {f € L(E,R) | h inclus dans ker(f)} = {f € L(E,R) | h = ker(f)} par égalité de dimension.


A partir de là, comme tu sais d'après la 3. que deux applications linéaires de L(E,R) de même noyaux sont colinéaires, tu devrais pouvoir conclure sur le caractère fini de la dimension et la valeur de cette dimension d'un coup

[blablablablablabla]

Merci je vais essayer mais j'arrive pas a comprendre pourquoi au début l'inclusion devient une égalité?