Doute sur une équivalence

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Re: Doute sur une équivalence

Message par Gudule » 21 déc. 2010 01:23

sotwafits a écrit :Le sens $ \Rightarrow $ est faux
Huh ? Parler de la dérivée n'a logiquement pas de sens si on a pas supposé f dérivable ? Sinon je vois pas en quoi c'est faux.
Si je dis des bêtises, merci de me corriger !

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Re: Doute sur une équivalence

Message par fakbill » 21 déc. 2010 01:30

TIens au fait c'est quoi le théorème qui lie logiquement le signe de la dérivée et la stricte croissance en prépa (s'il y en a un)...
Ca ne risque pas de parler de "mesure nulle" donc ça s'énonce comment au niveau prépa?
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Re: Doute sur une équivalence

Message par Deviling » 21 déc. 2010 01:32

Gudule a écrit :
sotwafits a écrit :Le sens $ \Rightarrow $ est faux
Huh ? Parler de la dérivée n'a logiquement pas de sens si on a pas supposé f dérivable ? Sinon je vois pas en quoi c'est faux.
C'est justement pour cela. La véritable propriété est :
f dérivable et strictement croissante sur I <=> f dérivable sur I et il existe un ensemble dénombrable D, tel que pour tout x dans I\D, f'(x) > 0

Mais c'est vrai que je ne l'ai jamais vu comme théorème dans mon cours. Pourtant c'est niveau prépa et parfois même on l'utilise !
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Re: Doute sur une équivalence

Message par Ragoudvo » 21 déc. 2010 01:37

Il n'y a pas de théorème sur la stricte croissance au niveau prépa je pense.

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Re: Doute sur une équivalence

Message par Philippe PATTE » 21 déc. 2010 01:55

Ragoudvo a écrit :Il n'y a pas de théorème sur la stricte croissance au niveau prépa je pense.
Si si. Voir le programme de MPSI. Caractérisation des fonctions constantes, monotones, strictement monotones parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. L'énoncé de Deviling n'est pas plus correct que les précédents. Pourtant, ce n'est pas si difficile d'en donner un énoncé. Une fonction strictement croissante sur un intervalle, c'est une fonction croissante ne présentant aucun "palier" ...
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Re: Doute sur une équivalence

Message par MFred » 21 déc. 2010 02:38

Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.
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Re: Doute sur une équivalence

Message par sotwafits » 21 déc. 2010 10:22

MFred a écrit :Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.
Voilà, cet énoncé est correct.

Pour revenir aux énoncés (faux) donnés avant : il est possible de construire une fonction dérivable strictement croissante, dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, et même de mesure non nulle (mais ça c'est hors-programme de prépa)
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Re: Doute sur une équivalence

Message par Deviling » 21 déc. 2010 14:57

sotwafits a écrit :
MFred a écrit :Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.
Voilà, cet énoncé est correct.

Pour revenir aux énoncés (faux) donnés avant : il est possible de construire une fonction dérivable strictement croissante, dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, et même de mesure non nulle (mais ça c'est hors-programme de prépa)
J'aimerai bien un exemple !
En gros, le principe, c'est que la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable mais non continu, comme les irrationnels ?
Mais par contre pour la mesure (je n'ai pas encore étudié) mais j'avais cru comprendre qu'être de mesure non nulle signifiait avoir du "continu", un intervalle.
Peux-être faut-il que j'arrête de vivre dans un monde où l'on est soit discret, soit continu...
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Re: Doute sur une équivalence

Message par Grisha » 21 déc. 2010 15:07

Si ça t'interesse, je te file un papier dessus: http://www.daniel-saada.eu/fichiers/09- ... santes.pdf.
Bon, il est assez chiant quand même et bien hors programme!
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Re: Doute sur une équivalence

Message par bogoss91 » 21 déc. 2010 15:09

Deviling a écrit :J'aimerai bien un exemple !
En gros, le principe, c'est que la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable mais non continu, comme les irrationnels ?
Mais par contre pour la mesure (je n'ai pas encore étudié) mais j'avais cru comprendre qu'être de mesure non nulle signifiait avoir du "continu", un intervalle.
Peux-être faut-il que j'arrête de vivre dans un monde où l'on est soit discret, soit continu...
Il existe des ensemble de mesure nulle mais non dénombrables, comme l'ensemble de Cantor si je me souviens bien.
Indénombrable ne signifie pas continu : pense à R\Q.

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