Doute sur une équivalence
Doute sur une équivalence
Bonjour,
J'ai un DM à faire dont un des exercices traites le thème des expansions.
On y définit une expansion comme une application
f : R -> R continue telle que |f(x)-f(x')| > |x - x'| (pour tout réel x, x')
Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...
Sens direct :
x =/= x' ==>
|f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1
Passage à la limite (avec l'hypothèse de dérivabilité) et voilà.
Mais dans l'autre sens je bloque ;
si pour tout x' |f'(x)| > 1
alors lim |f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1 (quand x -> x')
Mais comment "virer" la limite ?
J'ai un DM à faire dont un des exercices traites le thème des expansions.
On y définit une expansion comme une application
f : R -> R continue telle que |f(x)-f(x')| > |x - x'| (pour tout réel x, x')
Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...
Sens direct :
x =/= x' ==>
|f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1
Passage à la limite (avec l'hypothèse de dérivabilité) et voilà.
Mais dans l'autre sens je bloque ;
si pour tout x' |f'(x)| > 1
alors lim |f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1 (quand x -> x')
Mais comment "virer" la limite ?
Thiers ; Le Parc [5/2]
X 2013
X 2013
Re: Doute sur une équivalence
Quand tu passe à la limite, l'inégalité devient large.. L'équivalence est évidemment fausse..
Par contre l'implication retour est vraie, en utilisant le théorème des accroissements finis.
Par contre l'implication retour est vraie, en utilisant le théorème des accroissements finis.
Re: Doute sur une équivalence
C'est aussi vrai que l'équivalence $ (f $ est strictement croissante $ \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, f'(x)>0) $Hoetre a écrit :Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...
D'ailleurs, en rajoutant l'identité à une fonction strictement croissante, on obtient une expansion : les 2 notions sont très liées
Re: Doute sur une équivalence
Equivalence qui est fausse en fait (Un contre exemple classique : la fonction cube..)sotwafits a écrit :C'est aussi vrai que l'équivalence $ (f $ est strictement croissante $ \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, f'(x)>0) $Hoetre a écrit :Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...
D'ailleurs, en rajoutant l'identité à une fonction strictement croissante, on obtient une expansion : les 2 notions sont très liées
Re: Doute sur une équivalence
C'est peut-être bien de le préciser, en effet.Silvere Gangloff a écrit :Equivalence qui est fausse en fait (Un contre exemple classique : la fonction cube..)
Philippe PATTE
MP maths Lakanal Sceaux
MP maths Lakanal Sceaux
Re: Doute sur une équivalence
C'est pour cela qu'il ne vaut mieux écrire que des implications!!:)
Re: Doute sur une équivalence
Pour n'avoir aucun point lorsque la résolution par équivalence s'avère nécessaire, c'est la bonne méthode effectivement. A moins que tu ne résolves systématiquement tes systèmes (entre autre) par double implication ...Grisha a écrit :C'est pour cela qu'il ne vaut mieux écrire que des implications!!:)
Re: Doute sur une équivalence
Soit f une fonction de D dans R;
f strictement croissante sur D <=> Quel que soit x dans D, f'(x)>0 sauf peut-être en un nombre dénombrable de points.
f strictement croissante sur D <=> Quel que soit x dans D, f'(x)>0 sauf peut-être en un nombre dénombrable de points.
Re: Doute sur une équivalence
Le sens $ \Rightarrow $ est fauxbunte_kuh a écrit :Soit f une fonction de D dans R;
f strictement croissante sur D <=> Quel que soit x dans D, f'(x)>0 sauf peut-être en un nombre dénombrable de points.