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Bonjour,

J'ai un DM à faire dont un des exercices traites le thème des expansions.

On y définit une expansion comme une application
f : R -> R continue telle que |f(x)-f(x')| > |x - x'| (pour tout réel x, x')

Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...

Sens direct :
x =/= x' ==>
|f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1
Passage à la limite (avec l'hypothèse de dérivabilité) et voilà.

Mais dans l'autre sens je bloque ;

si pour tout x' |f'(x)| > 1
alors lim |f(x)-f(x')| / |x - x'| > 1 (quand x -> x')

Mais comment "virer" la limite ?

Quand tu passe à la limite, l'inégalité devient large.. L'équivalence est évidemment fausse..
Par contre l'implication retour est vraie, en utilisant le théorème des accroissements finis.

Hoetre a écrit :Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...

C'est aussi vrai que l'équivalence $ (f $ est strictement croissante $ \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, f'(x)>0) $

D'ailleurs, en rajoutant l'identité à une fonction strictement croissante, on obtient une expansion : les 2 notions sont très liées

sotwafits a écrit :

Hoetre a écrit :Et je me dis que ce serait pas mal de montrer que (f expansion dérivable <=> | f'(x) | > 1 | ) --- Si tant est que ce soit vrai...

C'est aussi vrai que l'équivalence $ (f $ est strictement croissante $ \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, f'(x)>0) $

D'ailleurs, en rajoutant l'identité à une fonction strictement croissante, on obtient une expansion : les 2 notions sont très liées

Equivalence qui est fausse en fait (Un contre exemple classique : la fonction cube..)

Silvere Gangloff a écrit :Equivalence qui est fausse en fait (Un contre exemple classique : la fonction cube..)

C'est peut-être bien de le préciser, en effet.

C'est pour cela qu'il ne vaut mieux écrire que des implications!!:)

Grisha a écrit :C'est pour cela qu'il ne vaut mieux écrire que des implications!!:)

Pour n'avoir aucun point lorsque la résolution par équivalence s'avère nécessaire, c'est la bonne méthode effectivement. A moins que tu ne résolves systématiquement tes systèmes (entre autre) par double implication ...

Mon message était évidemment fallacieux!

Soit f une fonction de D dans R;
f strictement croissante sur D <=> Quel que soit x dans D, f'(x)>0 sauf peut-être en un nombre dénombrable de points.

bunte_kuh a écrit :Soit f une fonction de D dans R;
f strictement croissante sur D <=> Quel que soit x dans D, f'(x)>0 sauf peut-être en un nombre dénombrable de points.

Le sens $ \Rightarrow $ est faux