Partie dense dans R

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Partie dense dans R

Message par Polo47 » 20 déc. 2010 14:27

Bonjour à tous,
j'ai un petit doute sur une démonstration, je dois montrer que :
soit A £ R vérifiant :
quelque soit x de R il existe a et b de A tels que : a < x < b
quelque soit a et b de A : (a+b)/2 £ A

Montrer que A est dense dans R

J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Merci si vous pouvez m'aiguiller,
bonne journée

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Re: Partie dense dans R

Message par MFred » 20 déc. 2010 14:52

Salut,
Polo47 a écrit :J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
L'idée est bien là : suppose par exemple que $ \frac{a+b}{2} < x < b $, et pose $ a' = \frac{a+b}{2} $ et $ b' = b $. En répétant le même raisonnement avec a' et b' au lieu de a et b, tu obtiens un nouveau point $ \frac{a'+b'}{2} $, qui est plus près de x que a' ou b' ... tu vois comment conclure ?
Ancien taupin (2006-2009) - Lycée Montaigne, Bordeaux (MPSI2, MP1, MP1)
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Re: Partie dense dans R

Message par Polo47 » 20 déc. 2010 16:13

J'ai donc b < a+b/2 < x
et a > a'+b'/2 > x
Par suite j'ai un encadrement de x :

a+b/2 < x < a'+b'/2

et donc A est dense dans R, c'est ça ?
(j'ai peur de m'être embrouillé dans les notations)

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Re: Partie dense dans R

Message par LB » 20 déc. 2010 16:25

Tes hypothèses sont ni plus ni moins que : on peut encadrer tout réel par deux éléments de A, et quand on effectue une dichotomie entre ces éléments, on reste dans A.

À partir de là, si tu sais ce qu'est une méthode de dichotomie, tu dois trouver directement une suite qui va converger vers le réel de départ.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/

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Re: Partie dense dans R

Message par Polo47 » 22 déc. 2010 13:55

La dichotomie ne me dit strictement rien... Cet exercice est dans le chapitre des nombres réels, nous avons à peine commencé les suites :(

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Re: Partie dense dans R

Message par maniaco » 24 déc. 2010 18:11

Hé oui, pas facile les DL de Rémy =D

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Re: Partie dense dans R

Message par Polo47 » 27 déc. 2010 15:09

Non! Mais j'ai réussi je pense, c'est qui ?

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Re: Partie dense dans R

Message par maniaco » 28 déc. 2010 08:50

Ba explique pour la densité alors s'il te plait

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