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Partie dense dans R
Publié : 20 déc. 2010 14:27
par Polo47
Bonjour à tous,
j'ai un petit doute sur une démonstration, je dois montrer que :
soit A £ R vérifiant :
quelque soit x de R il existe a et b de A tels que : a < x < b
quelque soit a et b de A : (a+b)/2 £ A
Montrer que A est dense dans R
J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Merci si vous pouvez m'aiguiller,
bonne journée
Re: Partie dense dans R
Publié : 20 déc. 2010 14:52
par MFred
Salut,
Polo47 a écrit :J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
L'idée est bien là : suppose par exemple que $ \frac{a+b}{2} < x < b $, et pose $ a' = \frac{a+b}{2} $ et $ b' = b $. En répétant le même raisonnement avec a' et b' au lieu de a et b, tu obtiens un nouveau point $ \frac{a'+b'}{2} $, qui est plus près de x que a' ou b' ... tu vois comment conclure ?
Re: Partie dense dans R
Publié : 20 déc. 2010 16:13
par Polo47
J'ai donc b < a+b/2 < x
et a > a'+b'/2 > x
Par suite j'ai un encadrement de x :
a+b/2 < x < a'+b'/2
et donc A est dense dans R, c'est ça ?
(j'ai peur de m'être embrouillé dans les notations)
Re: Partie dense dans R
Publié : 20 déc. 2010 16:25
par LB
Tes hypothèses sont ni plus ni moins que : on peut encadrer tout réel par deux éléments de A, et quand on effectue une dichotomie entre ces éléments, on reste dans A.
À partir de là, si tu sais ce qu'est une méthode de dichotomie, tu dois trouver directement une suite qui va converger vers le réel de départ.
Re: Partie dense dans R
Publié : 22 déc. 2010 13:55
par Polo47
La dichotomie ne me dit strictement rien... Cet exercice est dans le chapitre des nombres réels, nous avons à peine commencé les suites
Re: Partie dense dans R
Publié : 24 déc. 2010 18:11
par maniaco
Hé oui, pas facile les DL de Rémy =D
Re: Partie dense dans R
Publié : 27 déc. 2010 15:09
par Polo47
Non! Mais j'ai réussi je pense, c'est qui ?
Re: Partie dense dans R
Publié : 28 déc. 2010 08:50
par maniaco
Ba explique pour la densité alors s'il te plait