Question pour un champion 2.

[junior-maths]

Bonjour,
Soit E un R ev et p,f,q 3 endomorphisme.a.b deux reels distincs
$ Ide=p+q $
$ f=ap+bq $
$ fof=a^2p+b^2*q $
Comment montrer que si $ (f-a*ide)o(f-b*ide)=0 $ alors $ ker(f-aide) \oplus ker(f-bide)=E $

Merci
Pour le + c'est le + avec un cercle

Cette fois l'enonce est 100% juste

[Philippe PATTE]

Deux fautes au moins dans l'énoncé, bravo !

Combine judicieusement tes relations !

[junior-maths]

Ok Monsieur Patte.Cool Raoul

[compte supprimé]

Bonsoir,

Version sup : fais une double inclusion, tout simplement (et montre que l'intersection est réduite à l'application nulle).

Version spé : théorème de décomposition des noyaux.

Comme tu es en sup, contentes-toi de la version sup.

[-guigui-]

Bonsoir,

Comme d'habitude, avec une double inclusion. L'une est triviale, pour l'autre tu peux procéder par analyse/synthèse.

En spé, tu verras le lemme des noyaux, qui donnera le résultat très rapidement.

Edit : M. Patte n'a pas tort, fais un effort sur l'énoncé

[junior-maths]

Merci pour vos reponse mais:

Je sais que la somme des deux ker est inclus dans E mais comment montrer que E est inclus dans la somme des deux ker , j'ai deja essayer de passer par la mais j'y arrive pas.

[compte supprimé]

Comme te l'a dit -guigui-, procède par analyse/synthèse :

Tu supposes que E est inclus dans Ker (f-a*ide) + Ker (f-b*ide). Donc quelque soit x de E, il existe (y,z) appartenant à Ker (f-a*ide) * Ker (f-b*ide) tel que :

x = y + z

Ensuite, avec les données de l'énoncé, tu trouve des conditions sur y et z. Si tu as assez de données, tu auras la forme de y et celle de z. Sinon, tu auras celle de y, puis t'en déduis celle de z (car z = x-y). Tu auras donc la forme de ton x.

Réciproquement, tu montre que ce x convient :

Si x = y + z appartient à E, alors il appartient à Ker (f-a*ide) + Ker (f-b*ide) (en montrant que y appartient à Ker (f-a*ide) et que z appartient à Ker (f-b*ide)).

EDIT : Merci à Necklor pour le MP. Je retire ce que j'ai dit, l'exo n'est pas trivial pour un sup, mais bizzare : quelle est l'utilité des hypothèses initiales (hormis (f-a*Ide)o(f-b*Ide)=0), étant donné qu'avec le théorème de décomposition des noyaux, elles n'ont absolument aucune utilité ?

[Philippe PATTE]

Un exo trivial quoi.

Non.

Ensuite, avec les données de l'énoncé, tu trouve des conditions sur y et z.

Après correction de l'énoncé, oui.

[sotwafits]

Bonjour,
Soit E un R ev et p,f,q 3 endomorphisme.a.b deux reels distincs
$ Ide=p+q $
$ f=ap+bq $
$ fof=a^2+b^2*q $
Comment montrer que si $ (f-a*ide)o(f-b*ide)=0 $ alors $ ker(f-aide)+ker(f-bide)=E $

Cette fois l'enonce est 100% juste

À 99% on va dire...

[Thaalos]

À 99% on va dire...

Le 1%, c'est pour du français ou des maths ?