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Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 18:53
par sim'
Bonjour.

J'aimerais avoir confirmation sur deux résultats concernant les polynômes de R[X] et la parité :
Soit P un élément de R[X].

* Si P est pair (resp. impair) sur un intervalle I centré en 0 non réduit à {0}, alors il est pair (resp. impair) sur R, donc pair (resp. impair) tout court ?
Pour le démontrer, j'ai écrit que : quelque soit x élément de I, P(-x) = P(x) (resp. P(-x) = -P(x)) donc comme I est infini, le polynôme P(-X) - P(X) (resp. P(-X)+P(X))
possède alors une infinité de racines et c'est donc le polynôme nul d'où : quelque soit x appartenant à R, P(-x)=P(x) (resp. P(-x)=-P(x)) : donc on a le résultat.
Le raisonnement précédent est-il correct ?

*Il y a équivalence entre :
(i) P pair (resp. impair)
(ii) tous les monômes de P sont pairs (resp. impair)


(ii) ->(i) est immédiat
Mais pour (i)->(ii) j'ai trouvé un raisonnement qui ne me satisfait pas : supposons P pair. S'il existait au moins un monôme de degré impair, P ne pourrait pas être pair, donc il n'existe aucun monôme de degré impair : tous les monômes sont de degré pair.

Qu'en pensez-vous ?

Rq : également, jusquà quel point peut-on confondre un polynôme et sa fonction polynomiale associée lorsqu'on travaille avec K=R (donc sur R[X]) ?

Re: Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 19:07
par MFred
Salut,

Le premier raisonnement est bon.

Pour le second :
sim' a écrit :Mais pour (i)->(ii) j'ai trouvé un raisonnement qui ne me satisfait pas : supposons P pair. S'il existait au moins un monôme de degré impair, P ne pourrait pas être pair, donc il n'existe aucun monôme de degré impair : tous les monômes sont de degré pair.
Le passage que j'ai mis en gras est précisément ce que tu veux montrer, ton raisonnement se mord un peu la queue. Pour montrer (i) => (ii), on peut montrer (comme tu l'as deviné) (non ii) => (non i), c'est-a-dire que tu supposes que P comporte un monôme impair, et tu dois aboutir a une contradiction avec la parité de P.

Re: Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 19:17
par sim'
Oui j'ai essayé de montrer que s'il existe au moins un monôme de degré impair, P ne peut pas être pair mais je ne trouve pas la contradiction, le résultat me paraît tellement évident...

Re: Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 19:36
par MFred
Le résultat est en effet assez facile a démontrer : si tu veux raisonner directement pour montrer (i) => (ii) dans le cas ou P est pair, tu peux par exemple écrire $ P(X) = P(-X) $, et en identifiant les coefficients de ces deux polynomes égaux, tu montres que tous les coefficients des monômes impairs sont nuls.

Re: Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 19:43
par Necklor
On pose $ n = deg(P) $
$ P = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k X^k $

On a $ \sum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{2})} 2\lambda_{2k+1} X^{2k+1} = 0 $ (car $ P(X) = P(-X) $)

D'où $ \forall k \in [0, E(\frac{n-1}{2})] $ $ \lambda_{2k+1} = 0 $
sim' a écrit :le résultat me paraît tellement évident...
Un résultat n'est jamais évident tant qu'on n'arrive pas à en apporter la preuve directement :).

Re: Polynômes et parité

Posté : 26 févr. 2011 20:01
par sim'
Merci à vous deux !

Cordialement.