Bonjour,
J'ai du mal avec cette question:
Montrer que pour tout a > 0, $ x\mapsto e^{-ax^{2}} $ est intégrable et determiner $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^{2}}\, \mathrm dx $
D'abord la fonction est continue (par morceaux) sur R
Il ya un problème en $ +\infty $
Là j'ai majoré pour x >= 1 $ e^{-ax^{2}} \le e^{-ax} $ or comme l'intégrale de 1 à + infini de la fonction à doite converge alors
$ \int\limits_{1}^{+\infty} e^{-ax^{2}}\, \mathrm dx $ converge,
Par contre je n'ai pas d'idée pour le problème en - infini
Merci de vos aides à l'avance
Intégrale impropre
Re: Intégrale impropre
en moins l'infini c'est pareil ! Suffit de majorer par exp(ax), au lieu de exp(-ax)...
Re: Intégrale impropre
Effectivement ça parait evident,
Mais en fait je suis pas sûr de la rédaction:
La majoration pour x <= 1 $ e^{-ax^{2}} \le e^{ax} $
Mais on ne connait pas l'intégrale de - l'infini à 1 de la fonction à droite ?
il faut faire un changement de variable du type x=-t ?
Mais en fait je suis pas sûr de la rédaction:
La majoration pour x <= 1 $ e^{-ax^{2}} \le e^{ax} $
Mais on ne connait pas l'intégrale de - l'infini à 1 de la fonction à droite ?
il faut faire un changement de variable du type x=-t ?
Re: Intégrale impropre
Tu ne connais pas de primitive de $ e^{ax} $ ? Si tu as une primitive, tu connais la valeur de l'intégrale.
Re: Intégrale impropre
Et bien on aboutirait à
$ \int\limits_{-\infty}^{1} e^{-ax^{2}}\, \mathrm dx \le e^a/a $
Mais ça veut pas dire qu'elle converge ... si ?
il faudrait savoir si la fonction est croissante
$ \int\limits_{-\infty}^{1} e^{-ax^{2}}\, \mathrm dx \le e^a/a $
Mais ça veut pas dire qu'elle converge ... si ?
il faudrait savoir si la fonction est croissante
Re: Intégrale impropre
Plus simplement, pour montrer l'intégrabilité, on peut remarquer que $ x^2e^{-ax^2} $ tend vers 0 en plus l'infini (et aussi en moins l'infini par parité).
Si. Tu intègres une fonction positive. De toute façon, si tu regardes la parité de la fonction, si elle est intégrable en plus l'infini, elle l'est aussi en moins l'infini.Mais ça veut pas dire qu'elle converge ... si ?
Re: Intégrale impropre
Mais tibmaster, tu es en PCSI ou c'était l'année dernière ? Si tu es encore en PCSI j'imagine que '"intégrabilité" ne te dit pas grand chose.
Re: Intégrale impropre
Vous ne pourrez écrire une inégalité concernant votre intégrale qu'après avoir prouvé sa convergence.tibmaster a écrit :Et bien on aboutirait à
$ \int\limits_{-\infty}^{1} e^{-ax^{2}}\, \mathrm dx \le e^a/a $
Mais ça veut pas dire qu'elle converge ... si ?