Nuhlanaurtograff a écrit :On peut aussi remarquer qu'une fonction continue sur un intervalle est injective ssi elle est strictement monotone. Comme ici, la dérivée change de signe, on obtient le résultat voulu.
Après un mois de sup, c'est pas du tout le genre de chose qui peuvent nous sembler intuitivement claire (sans dessin j'entends... Après, les dessins en analyse, ça te débloque souvent
). Et à montrer, sans définition claire de la continuité etc, ça risque d'être un peu trop approximatif, (avec des "on comprend que", "on voit bien que"...).
Dans cet exemple, il est question de comprendre que :
-> avec un dessin on "devine" que f n'est pas injective
-> On veut le montrer, donc on regarde non [ (pour tout x, x' réels, f(x) = f(x') => x = x') <=> f injective ], càd : (f non injective ==> il existe deux réels x et x' , tels que f(x) = f(x') et x =/= x')
-> on trouve deux réels distincts qui satisfont cette condition. Pour cela, soit on regarde f(x) - f(x') = 0 comme le faisait l'auteur, soit on regarde un axe de symétrie... bref, les méthodes sont variées, et là encore un dessin est sympatoch pour avoir des idées. Si le dessin est précis, il laisse parfois deviner deux réels qui satisfont la condition voulue, suffit de les prendre en cas particulier (sans autre forme de procès). La démonstration sera correcte sans souci ^^
