Bolzano-Weierstrass ( simple )

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Januspyrus » 12 oct. 2011 19:07

Bonsoir, ma question sera simple mais je veux être sur, est-ce que ceci est correctement justifié ?

j'ai une suite de vecteurs (yn) appartenant à un hyperplan ( on se place en dimension finie égale à n) et cette suite est bornée, et je veux montrer qu'il existe un sous-suite de (yn) qui converge.
En notant dim H = n-1, H est isomorphe à R^(n-1), or d'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, de toute suite bornée sur K^(n-1) on peut extraire une sous-suite convergente.
Donc il existe une sous-suite de (yn) qui converge vers un élément de H.

PS : Pour information j'avais montré précédement qu'il existe une suite (yn) telle que la norme de (x0 - yn ) tendait vers la distance d de x0 à H ( où x0 est un vecteur de E ).
D'où la majoration de la norme de (yn).

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Valvino » 12 oct. 2011 19:16

Tu peux peut-être simplement remarquer que un hyperplan est fermé.

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par optimath » 12 oct. 2011 19:23

Valvino a écrit :Tu peux peut-être simplement remarquer que un hyperplan est fermé.
Pas forcément, sauf s'il n'est pas dense.

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Januspyrus » 12 oct. 2011 19:28

Oui d'ailleurs c'est une des questions suivantes dans mon problème, montrer qu'un hyperplan est soit fermé soit dense. ( je vais éviter de me ramener maintenant à quelque chose comme ça vu que c'est dans la suite. :mrgreen: ).

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Valvino » 12 oct. 2011 19:34

optimath a écrit :
Valvino a écrit :Tu peux peut-être simplement remarquer que un hyperplan est fermé.
Pas forcément, sauf s'il n'est pas dense.
Ici on est en dimension finie!

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Nuhlanaurtograff » 12 oct. 2011 19:47

Januspyrus a écrit :Bonsoir, ma question sera simple mais je veux être sur, est-ce que ceci est correctement justifié ?

j'ai une suite de vecteurs (yn) appartenant à un hyperplan ( on se place en dimension finie égale à n) et cette suite est bornée, et je veux montrer qu'il existe un sous-suite de (yn) qui converge.
En notant dim H = n-1, H est isomorphe à R^(n-1), or d'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, de toute suite bornée sur K^(n-1) on peut extraire une sous-suite convergente.
Donc il existe une sous-suite de (yn) qui converge vers un élément de H.
Oui, c'est correctement justifié, mais tu peux quand même alléger la justification : H est un espace vectoriel de dimension finie, donc de toute suite bornée de H on peut extraire une sous-suite convergente.
Valvino a écrit :Tu peux peut-être simplement remarquer que un hyperplan est fermé.
Je ne vois pas vraiment ce que ça apporte ici en fait. Soit on est en dimension finie, et du coup on a le résultat tout de suite avec la dimension (en plus un sev de dimension finie est toujours fermé, donc c'est plus fort de parler de la dimension que de la fermeture), soit on ne l'est pas et du coup dire que c'est fermé ne permet pas de répondre...

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Valvino » 12 oct. 2011 20:40

Parce que on parle de topologie, et plus particulièrement de convergence de sous-suites, donc l'argument clé c'est compact (ie fermé borné). Pas d'être en dimension finie. Mais bon après je ne connais pas assez le programme de prépa pour savoir ce qui est attendu niveau rédaction.

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Nuhlanaurtograff » 12 oct. 2011 21:17

Valvino a écrit :donc l'argument clé c'est compact (ie fermé borné). Pas d'être en dimension finie.
Fermé Borné = Compact en dimension finie. Tu vois bien que tu as besoin de l'hypothèse de la dimension pour que fermé serve ?

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Valvino » 12 oct. 2011 22:06

Bien sûr je suis pas une buse non plus...

Non mais faut bien voir ici que le fait que le fait d'être de dimension finie c'est pas une propriété topologique. Le seul truc que je fais remarquer c'est que je trouve bizarre que jamais que dans cette rédaction les mots "compact" et "fermé" n’apparaissent. J'ai jamais dis qu'il ne fallait pas parler de dimension finie. C'est tout.

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Re: Bolzano-Weierstrass ( simple )

Message par Nuhlanaurtograff » 12 oct. 2011 22:25

En fait en prépa tu vois d'abord Weierstrass dans R (toute suite bornée de R admet une valeur d'adhérence) et tu l'étends aux espaces vectoriels de dimension finie de façon "naturelle" (en prenant une base de l'espace et en prenant n extractions successives).

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