Bonsoir à tous, mon problème est le suivant :
comment démontrer que si A une partie de E (evn de dimension finie) contient une boule, alors elle contient une base de E ?
Je sèche... C'est évident ? Ou pas du tout ?
Si A contient une boule, elle contient une base
Re: Si A contient une boule, elle contient une base
Si tu as une base sous la main, admettons $ \left(e_{1},\cdots,e_{n}) $ alors pour tout $ r > 0 $, $ \left(\frac{r}{N(e_{1})} \cdot e_{1},\cdots,\frac{r}{N(e_{n})} \cdot e_{n}) $ est aussi une base, la norme de chacun de ses éléments est égale à $ r $. Donc on peut s'arranger pour avoir une base dont les éléments sont tous sur une même sphère ou dans une même boule.
Re: Si A contient une boule, elle contient une base
C'est plus rusé que ça a priori : rien ne dit que 0 soit un élément de la boule contenue dans A. Par contre, ton idée se déforme facilement, et choisissant un vecteur non nul $ x $ dans l'intérieur de la boule, puis une petite boule centrée sur x et contenue dans la grosse boule, donc dans A.
Re: Si A contient une boule, elle contient une base
Je vois cela un peu différemment : si A ne contenait pas de base, alors A n'engendrerait pas tout l'espace ... pourtant A contient une boule !
Re: Si A contient une boule, elle contient une base
Peut-être on peut détourner le problème , il est classique que tout s-e.v F de E d'intérieur non vide est égal à E ...