Exos sympas MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 26 août 2016 18:29

gchacha a écrit :Pas de soucis, je migrerai l'exercice.
Non non attend ! il y est et moi je l'aime ton exo !

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 26 août 2016 23:49

Ce que j'ai fait c'et que je suis parti de la première expression , j'ai transformé f(t) par son expression , j'ai décalé le t^n dans l'intégral avec exp(-xt).
Ensuite j'ai pris ta 2 eme expression , j'ai remplacé basiquement ton gamma(N+1) par son expression et cela me donne
$ \sum_{n=0}^{N} a_{n} \int_{0}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x}+ O(\frac{1}{x^{N+1}}) $
Donc du coup j'utilise tes indications mais ça part vraiment loin , ici avec cette intégrale j'utilise la relation de chasle pour avoir
$ \int_{0}^{b}\frac{exp(-x)}{x}+\int_{b}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x} $
Mais le problème est la , et c'est la ou je galère et je fais n'importe quoi depuis 1 h
On veux montrer ça $ ]\int \limits_{b}^{+\infty} \exp(-xt) t^n \mathrm{d}t \underset{x\to+\infty}{=} O(\exp(-xb)) $
Mais de base comment obtenir une des expression pour ensuite démontrer que c'est égal ? de même je ne comprend pas la 2 eme indication :cry: ,

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 27 août 2016 11:18

Après quelques recherches + fructueuse

$ \int_{0}^{b} exp(-xt)f(t) = \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{b} exp(-xt) t^{n} dt + \int_{0}^{b} exp(-xt) $$ O(t^{N+1}) dt $
J'obtiens donc 2 termes basiquement , je transforme le 1 er terme

$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-xt) t^{n}dt - \int_{b}^{+\infty} exp(-xt) t^{n} dt $$ + \int_{0}^{b} exp(-xt) O(t^{N+1}) dt $
Bon la j'ai 3 termes ce qui m'arrange car pour la 1 je commence à trouver un bout de gamma , le 2 eme et le 3 eme termes sont dans l’indication avec changement de variable et apparition de k(t), donc c'est parfait pour ce coté la .

J'essai de transformer le premier terme pour retrouver gamma mais c'est la ou je bloque et je vais loin :lol:
$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-x)exp(t) t^{n}dt $ mais après je sais pas comment retrouver gamma.. Si quelqu’un à quelqu'un à des indications. :D

Messages : 109

Enregistré le : 22 juin 2015 14:11

Re: Exos sympas MPSI

Message par Krik » 27 août 2016 12:49

Siméon a écrit :Un énoncé conforme au programme :

Exo MPSI 235.1
1. Montrer que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) $.
2. Est-il vrai que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) \leq f(x) + 1 $ ?
Je suis tout à fait incapable de résoudre cet exercice, mais ça m'intéresserait d'avoir une solution. Si vous l'avez, pensez à moi !

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 27 août 2016 13:34

Krik a écrit :
Siméon a écrit :Un énoncé conforme au programme :

Exo MPSI 235.1
1. Montrer que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) $.
2. Est-il vrai que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) \leq f(x) + 1 $ ?
Je suis tout à fait incapable de résoudre cet exercice, mais ça m'intéresserait d'avoir une solution. Si vous l'avez, pensez à moi !
Pour celui la je me suis pas penché dessus
A mon avis avec mes connaissances limitées de pcsi , ça me fait beaucoup penser à mon chapitre 6 en math sur la dérivation. Tu devrais te pencher sur le TVI , le taux d'accroissement ou bien le fait qu'elle est continue alors elle a comme conséquence qu'elle est bornée et comme elle est bornée alors elle peut admettre une fonction tel que f(x) < g(x). C'est peux être complètement faux ce que je dis mais l'exo de gchacha me donne du fil à retordre :evil:

EDIT: la 2 eme question me fait penser à la foncttion partie entiére , mais cette fonction n'est pas continue ^^

Messages : 109

Enregistré le : 22 juin 2015 14:11

Re: Exos sympas MPSI

Message par Krik » 27 août 2016 13:49

Les fonctions continues ne sont pas toutes bornées, sinon cet exercice serait bien trop simple.

Ma seule idée serait de découper R en segments, où on pourrait borner f, et donc la majorer par des fonctions affines. Il resterait à raccorder ces morceaux de façon à avoir quelque chose de dérivable (je ne sais même pas si c'est possible).

Je pense que c'est une très mauvaise piste, mais n'ai pas d'autre idée.

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 27 août 2016 13:59

Je me suis mal exprimé ^^
En fait je parlais du TVI et de la fonction continu.
si on a f :I -> R continu sur I intervalle alors l'image J= f(I) de I par f est un intervalle.(qui est la conséquence du TVI)

et donc si on prend dans I ( ici R) un segment [a,b] , avec b>a de n'importe qu'elle longueur (comme tu le faiS remarquer d'ailleurs) alors l'image de I' =[a,b] par f est un segment J=[m,M](respectivement minimum et maximum). Ainsi on sait qu'elle est bornée sur [a,b] qui appartient à R.
Et donc si on poussait plus loin en choisissant l'intervalle [a,b] ou se situe c qui appartient a [a,b] tel que f(c) soit la borne sup de f(x). Donc on a f(c)>=f(x). Il suffit de choisir une fonction tel que g(x) >= f(c)>=f(x).
Je peux raconter n'importe quoi :P

Messages : 125

Enregistré le : 03 janv. 2016 20:27

Classe : pré-mpsi

Re: Exos sympas MPSI

Message par ladmzjkf » 27 août 2016 14:26

Sinon un exercice qui peut servir de warm-up:
Soit $ f: \mathbb{R}^+\to\mathbb{R} $ une fonction croissante, montrer qu'on peut trouver une fonction continue $ g $ qui majore $ f $
Modifié en dernier par ladmzjkf le 27 août 2016 14:55, modifié 2 fois.

Messages : 73

Enregistré le : 09 août 2016 23:54

Re: Exos sympas MPSI

Message par YoussefB » 27 août 2016 14:35

C'est juste une idée que j'ai émis calme toi ^^.
Mon idée est cool mais on peux trouver un contre exemple. Par exemple si ma fonction tend vers + infini pour x qui tend vers l'infini bah ça marche pas ^^, puisqu'il n'y a pas de borne sup ^^.

Messages : 125

Enregistré le : 03 janv. 2016 20:27

Classe : pré-mpsi

Re: Exos sympas MPSI

Message par ladmzjkf » 27 août 2016 14:43

Je m'excuse
Modifié en dernier par ladmzjkf le 27 août 2016 14:56, modifié 1 fois.

Répondre