Bonjour ,
j'ai essayé de trouver l'equivalent de la série de terme général $ u_n=d(n) $ où d désigne la somme des diviseurs de n.
en notant $ S_n $ la somme partielle on montre que $ S_n=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i/j} i=\sum_{i=1}^{n} i \sum_{j\leq n,i/j}1=\sum_{i=1}^{n} i.[\frac{n}{i}] $
on a aussi $ n-i< i.[\frac{n}{i}] \leq n $ d'où $ \frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}< S_n \leq n^2 $ mais je sèche vu que l'encadrement n'est pas assez fin ou alors la méthode ne mène nulle part ...
Des idées peut-être ? Merci d'avance
Equivalent
Re: Equivalent
C'est un exo dur, tu n'y arriveras pas à avec un tout simple encadrement...
Re: Equivalent
Pourtant cette méthode aboutit pour d(n) le nombre de diviseurs de n.
Quelqu'un pourrait donner une indication svp ?
Quelqu'un pourrait donner une indication svp ?
Re: Equivalent
Je n'ai pas terminé cette démonstration, mais peut-être qu'il est possible de s'en sortir en utilisant la formule $ d(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} kE(\frac{k}{n} E(\frac{n}{k}))} $, puis en pensant aux sommes de Riemman, et puis au théorème des équivalents sur les séries divergentes, et enfin calculer le truc ignoble suivant: $ \displaystyle{\int_{0}^{1} xE(xE(\frac{1}{x})) dx} $. En tout cas ça a l'avantage de donner la forme d'un équivalent..
Re: Equivalent
Ton intégrale, là, elle a l'air de valoir 0Silvere Gangloff a écrit :Je n'ai pas terminé cette démonstration, mais peut-être qu'il est possible de s'en sortir en utilisant la formule $ d(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} kE(\frac{k}{n} E(\frac{n}{k}))} $, puis en pensant aux sommes de Riemman, et puis au théorème des équivalents sur les séries divergentes, et enfin calculer le truc ignoble suivant: $ \displaystyle{\int_{0}^{1} xE(xE(\frac{1}{x})) dx} $. En tout cas ça a l'avantage de donner la forme d'un équivalent..
Si c'est le cas, pas de bol
plutot que de raisonner sur d(n) comme tu l'as fait pour obtenir ta formuler Silvere Gangloff , on peut raisonner sur la somme des d(n) :
un entier k divise E(n/k) fois un entier compris entre 0 et n donc la somme vaut $ \sum d_n =\sum k E(\frac{k}{n} ) $
on se ramène ensuite à l'intégrale par somme de riemann, que l'on calcule aisément
comme tu le vois, auteur du topic, ce n'est pas aussi simple que pour la somme du nombre de diviseurs...
Re: Equivalent
Oups, en effet. En bref, l'idée de la démonstration c'est penser à la convergence des Sommes de Riemman.
Re: Equivalent
Je n'ai jamais dit que c'était facile justement je demandais de l'aide. Peut-être qu'avec l'indictation : Sommes de Riemann, j'aurais pu aboutir à quelque chose parce que dans ma réflexion j'étais mal parti
Enfin finalement non parceque j'arrive à un équivalent avec : $ \Large S_n=\sum_{j=1}^n \sum_{i|j}i=\sum_{k=1}^n\sum_{i\leq n/k}i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}[\frac nk]([\frac nk]+1) $
$ \frac{n}{k}-1< [\frac{n}{k}] \leq \frac{n}{k} $ d'où
$ \Large \frac{1}{2}(n^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} - n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) \leq S_n \leq \frac{1}{2}(n^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} + n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) $
Or $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} $ et $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\sim ln n $ et on trouve $ S_n \sim \frac{\pi^2}{12}n^2 $
Par contre, si ce que j'ai fait est juste je ne vois pas d'où pourrait sortir le pi avec l'intégrale.
EDIT : d'ailleurs $ \sum d_n=\sum k[\frac{n}{k} ] $ au lieu de $ [\frac{k}{n}] $ nn ?
Enfin finalement non parceque j'arrive à un équivalent avec : $ \Large S_n=\sum_{j=1}^n \sum_{i|j}i=\sum_{k=1}^n\sum_{i\leq n/k}i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}[\frac nk]([\frac nk]+1) $
$ \frac{n}{k}-1< [\frac{n}{k}] \leq \frac{n}{k} $ d'où
$ \Large \frac{1}{2}(n^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} - n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) \leq S_n \leq \frac{1}{2}(n^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} + n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) $
Or $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} $ et $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\sim ln n $ et on trouve $ S_n \sim \frac{\pi^2}{12}n^2 $
Par contre, si ce que j'ai fait est juste je ne vois pas d'où pourrait sortir le pi avec l'intégrale.
EDIT : d'ailleurs $ \sum d_n=\sum k[\frac{n}{k} ] $ au lieu de $ [\frac{k}{n}] $ nn ?
Re: Equivalent
Salut !
MERCI .
est ce tu peux m' expliquer ( avec plus de détails) comment tu as calculé la somme des diviseurs ?Othyy a écrit : $ \Large S_n=\sum_{j=1}^n \sum_{i|j}i=\sum_{k=1}^n\sum_{i\leq n/k}i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}[\frac nk]([\frac nk]+1) $
MERCI .
Re: Equivalent
J'arrive à trouver quelque chose même avec la méthode des sommes de Riemann.
$ S_n=\sum d_n=\sum k[\frac{n}{k} ]=n\sum \frac{k}{n} E(\frac{k}{n}) \sim n^2\int_0^1xE(\frac{1}{x})dx $
on calcule l'intégrale $ I=\int_0^1xE(\frac{1}{x})dx=-\sum_{k=1}^{+\infty} \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k+1}}xE(\frac{1}{x})dx $
$ I=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{2} (\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{1}{k^2})=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2k+1}{2k(k+1)^2} $
la somme n'est pas difficile à calculer il suffit de faire une décomposition en élements simples de la fraction rationnelle et on trouve bien $ \frac{\pi^2}{12} $.
pour ce qui est de la question ci dessus , au début on somme sur les diviseurs, on échange les sommes ensuite on somme sur les multiples. Si tu permets je développe l'après midi je suis un peu pressé là.
$ S_n=\sum d_n=\sum k[\frac{n}{k} ]=n\sum \frac{k}{n} E(\frac{k}{n}) \sim n^2\int_0^1xE(\frac{1}{x})dx $
on calcule l'intégrale $ I=\int_0^1xE(\frac{1}{x})dx=-\sum_{k=1}^{+\infty} \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k+1}}xE(\frac{1}{x})dx $
$ I=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{2} (\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{1}{k^2})=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2k+1}{2k(k+1)^2} $
la somme n'est pas difficile à calculer il suffit de faire une décomposition en élements simples de la fraction rationnelle et on trouve bien $ \frac{\pi^2}{12} $.
pour ce qui est de la question ci dessus , au début on somme sur les diviseurs, on échange les sommes ensuite on somme sur les multiples. Si tu permets je développe l'après midi je suis un peu pressé là.
Dernière modification par Othyy le 02 mars 2012 12:59, modifié 1 fois.