Egalité série intégrale?

[lionel52]

Bonjour j'ai remarqué en utilisant un peu ma calculatrice que l'on avait souvent l'égalité suivante

$ \lim_{a\to 0} \sum_{n=0}^{\infty} a f(na) = \int_0^{\infty} f(t) dt $


Sous certaines hypothèses peut on être sûr que l'égalité est vérifiée? je pensais à l'hypothèse de continuité uniforme pour f!

[belos]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaiso ... C3%A9grale

je propose ça !

[FeynmaN]

J'arrive pas à voir si c'est vraie pour une fonction constante..

[Vlastilin]

J'arrive pas à voir si c'est vraie pour une fonction constante..

l'intégrale pour une fonction constante ne converge pas, de toute façon

[FeynmaN]

Oui, je voulais dire montrer que le terme à gauche aussi ne converge pas.

[Silvere Gangloff]

Si $ f $ est de classe $ C^1 $ intégrable et de dérivée intégrable, alors ça marche.
Indication : Utiliser la formule de Taylor reste intégral sur une fonction bien choisie.

[TooBad]

Comme Silvere : formule de Taylor sur f et ca marche bien. Il est cool ce résultat, on voit bien ce qui se passe : approcher l'intégrale avec des rectangles de largeur a, comme au sens de Riemann sauf qu'on est sur R+.

[compol]

Désolé mais je n'ai pas compris votre méthode en utilisant la formule de Taylor. Pouvez-vous détailler un peu SVP?
Je vois bien que dans le cas de f et f' intégrables sur R+ on a forcément f qui tend vers 0 en +infini, mais je n'arrive pas à exploiter la formule de Taylor.

[Silvere Gangloff]

Commence par découper l'intégrale de f sur $ [0,+\infty] $ en petites intégrales (en utilisant une partition bien choisie..). Tu y verras peut être mieux.

[compol]

En notant $ F $ une primitive de f, on a pour n naturel et a>0 fixé:
$ F((n+1)a)=F(na)+a f(na)+\int_{na}^{(n+1)a} f'(x)((n+1)a-x) $, donc pour N naturel $ \int_0^{(N+1)a}f=\sum_{n=0}^{N}af(na)+\int_{na}^{(n+1)a} f'(x)((n+1)a-x)dx $. Quelque chose m'échappe à ce stade... comment utiliser l'intégrabilité de f' ?