Exercices de MPSI

[Retard]

Tu peux expliciter le télescopage à la fin (pour la limite) stp ?

[lsjduejd]

Oups pardon, j'ai fait n'importe quoi

J'ai édité ma réponse.

Pour me faire pardonner, une petite question :

Résoudre dans N² :
1/x + 1/y = 1/2003

... et une moins petite pour les plus forts :

Montrer que tout rationnel positif peut s'écrire sous la forme $ \frac{a^3 + b^3}{c^3+d^3} $, ou a , b , c, d sont des entiers naturels, $ c^3+d^3 $ non nul.
Indice qui ne trivialise pas le problème pour autant :

SPOILER:

Pour r=m/n, nombre rationnel compris strictement entre 1/2 et 2, on a :
$ a=2m-n , b=m+n , c=2n-m , d=m+n $ entiers strictement positifs qui conviennent.

[lsjduejd]

Un exercice pas forcément très utile mais bon ...

Sans utiliser la formule générale de la question suivante, déterminer la valeur exacte de $ \cos(\arctan(\dfrac{1}{5})) $ et $ \sin(\arctan(\dfrac{1}{5})) $

Démontrer que pour tout réel $ x\text{, } \cos(\arctan(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $ et $ \sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $

SPOILER:

Deux démonstrations sont possibles !

On peut faire une analyse graphique d'un cercle trigonométrique dans un repère en utilisant le théorème de Pythagore.

On peut faire de l'analyse :

Soit g(x)=cos(arctan(x)) et f(x)=sin(arctan(x))
on a pour tout x dans R $ \frac{f(x)}{g(x)}=tan(arctan(x))=x $
en dérivant on a : $ \frac{\frac{1}{1+x^2}*(f(x)^2+g(x)^2)}{g(x)^2}=1 $

D'où on trouve pour tout x dans R $ g(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ en justifiant le signe ($ -\frac{\pi}{2}<arctan(x)<\frac{\pi}{2} \Rightarrow cos(arctan(x))>0) $. De la première relation, on trouve de plus $ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $

[V@J]

Bonjour à tous,

Voici un exercice :

Pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, démontrer que $ n^4 + 64 $ n’est pas premier.

[...]
Ca doit pas être le plus simple

En fait cet exercice n'est qu'un cas particulier de l'identité de Sophie Germain avec (x,y)=(x,2). En particulier, il "suffit" d'exhiber la factorisation $ n^4+64=(8 - 4 n + n^2) (8 + 4 n + n^2) $...
Du coup, ta méthode était en gros la seule trouvable par un terminale. La seule chose est que, comme tu le dis, on aurait effectivement pu balancer tout de suite la factorisation au lieu de regarder ce qui se passe modulo 5. Mais vu que remarquer que le petit théorème de Fermat s'applique est une excellente chose... (qui se trouve être inutile ici, mais on ne peut pas le savoir a priori)

[lsjduejd]

Après t'avoir lu, j'ai essayé de trouver un emploi à ladite méthode et, à vrai dire, un énoncé peut lui correspondre. Je vous le soumets donc même si son intérêt est très limité puisqu'en toute rigueur, un ordinateur pourrait le résoudre par bruteforce :

Démontrer que le premier entier pour lequel $ n^6+20 $ est premier est 399.

Indice :

SPOILER:

Utiliser les congruences sachant que 399=3*7*19 et connaissant le PT de Fermat

Vous avez le droit à votre PC

[truchement]

La fonction tangente est elle-même hors programme en TS.

En maths, oui, mais elle est utilisée en physique c'est pourquoi j'ai estimé qu'elle était connu.

Si ce n'est pas le cas pour tous les élèves de terminale S, au temps pour moi.

Un exercice pas forcément très utile mais bon ...

Sans utiliser la formule générale de la question suivante, déterminer la valeur exacte de $ \cos(\arctan(\dfrac{1}{5})) $ et $ \sin(\arctan(\dfrac{1}{5})) $

Démontrer que pour tout réel $ x\text{, } \cos(\arctan(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $ et $ \sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $

SPOILER:

Deux démonstrations sont possibles !

On peut faire une analyse graphique d'un cercle trigonométrique dans un repère en utilisant le théorème de Pythagore.

On peut faire de l'analyse :

Soit g(x)=cos(arctan(x)) et f(x)=sin(arctan(x))
on a pour tout x dans R $ \frac{f(x)}{g(x)}=tan(arctan(x))=x $
en dérivant on a : $ \frac{\frac{1}{1+x^2}*(f(x)^2+g(x)^2)}{g(x)^2}=1 $

D'où on trouve pour tout x dans R $ g(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ en justifiant le signe ($ -\frac{\pi}{2}<arctan(x)<\frac{\pi}{2} \Rightarrow cos(arctan(x))>0) $. De la première relation, on trouve de plus $ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $

Il y a encore d'autres démonstrations, essaye notamment de retrouver la valeur exacte de l'exemple numérique sans utiliser la formule générale.

Notons au passage que la dérivée de la fonction arc-tangente qui n'est pas au programme de TS et n'a pas été donnée n'est pas du tout nécessaire...

[lsjduejd]

Si tu as une troisième démonstration à proposer, je suis tout ouïe !

Pour ce qui est de déterminer l'application numérique, j'utiliserais la première démonstration qui est un peu agaçante à écrire puisqu'il faudrait notamment que je trace une figure pour me faire comprendre...

[truchement]

SPOILER:

Nombres complexes par exemple.

[Dr. Folamour]

Si tu as une troisième démonstration à proposer, je suis tout ouïe !

Tu peux remarquer que $ 1+tan^2(x)=1/cos^2(x) $ et tu conclus très vite.

[lsjduejd]

Notons au passage que la dérivée de la fonction arc-tangente qui n'est pas au programme de TS et n'a pas été donnée n'est pas du tout nécessaire...

Et l'aut'
Tu me résous ça avec des complexes ! La formule complexe de l'arc-tangente est encore moins donnée que sa dérivée qui se démontre les yeux fermés .