Exercices de MPSI

[BLH37]

Attention dans le a), il faut montrer que a est égal à 2, non pas qu'il est supérieur ou égal à 2

Pour la partie b) c'est ça !

Je plussoie dommage qu'il y ait peu d'arithmétique ...

[geunzero]

Oui pour le a j'ai confondu en TeX \leq et \geq ^^. La négation de $ a>2 $ est bien $ a\leq 2 $ et comme par hypothèse $ a\geq 2 $ on a bien $ a=2 $

[geunzero]

Soit $ n $ dans $ [1,+\infty[ $ une suite convergente vers l et $ M_{n} $ la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite $ U_{n} $. Montrer que $ M_{n} $ converge vers l.

Stp peux-tu reformuler pour que l'énoncé soit clair ? ^^
On sait pas si $ n $ est entier, on sait pas qui est $ U_{n} $ etc

[spemaths]

Alors personne pour mon énigme?

On a une table carrée et un sac de pièces d'or. On joue au jeu suivant avec un ami : Chacun pose une pièce à son tour sur la table et celui qui n'arrive plus à poser ENTIEREMENT une pièce sur la table a perdu (c'est à dire sans déborder, sans chevaucher). Je commence la partie. Coment faire pour gagner?

[L'hommeMasque]

Soit $ n $ dans $ [1,+\infty[ $ une suite convergente vers l et $ M_{n} $ la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite $ U_{n} $. Montrer que $ M_{n} $ converge vers l.

Stp peux-tu reformuler pour que l'énoncé soit clair ? ^^
On sait pas si $ n $ est entier, on sait pas qui est $ U_{n} $ etc

Soit $ n $ dans $ [1,+\infty[ $ une suite $ U_{n} $ convergente vers l et $ M_{n} $ la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite $ U_{n} $. Montrer que $ M_{n} $ converge vers l.

En esperant avoir été plus clair

[adamard10]

Alors personne pour mon énigme?

On a une table carrée et un sac de pièces d'or. On joue au jeu suivant avec un ami : Chacun pose une pièce à son tour sur la table et celui qui n'arrive plus à poser ENTIEREMENT une pièce sur la table a perdu (c'est à dire sans déborder, sans chevaucher). Je commence la partie. Coment faire pour gagner?

Mets la réponse en spoiler

[Asymetric]

Alors personne pour mon énigme?

On a une table carrée et un sac de pièces d'or. On joue au jeu suivant avec un ami : Chacun pose une pièce à son tour sur la table et celui qui n'arrive plus à poser ENTIEREMENT une pièce sur la table a perdu (c'est à dire sans déborder, sans chevaucher). Je commence la partie. Coment faire pour gagner?

Si si.

[bullquies]

Alors personne pour mon énigme?

On a une table carrée et un sac de pièces d'or. On joue au jeu suivant avec un ami : Chacun pose une pièce à son tour sur la table et celui qui n'arrive plus à poser ENTIEREMENT une pièce sur la table a perdu (c'est à dire sans déborder, sans chevaucher). Je commence la partie. Coment faire pour gagner?

Si si.

ca m'intéresse aussi mais j'arrive pas à y réfléchir plus de 5 minutes de suite

[V@J]

Variante : comment faire avec une table ronde, ou une table parallélogramme ?

[geunzero]

Soit $ n $ dans $ [1,+\infty[ $ une suite convergente vers l et $ M_{n} $ la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite $ U_{n} $. Montrer que $ M_{n} $ converge vers l.

Stp peux-tu reformuler pour que l'énoncé soit clair ? ^^
On sait pas si $ n $ est entier, on sait pas qui est $ U_{n} $ etc

Soit $ n $ dans $ [1,+\infty[ $ une suite $ U_{n} $ convergente vers l et $ M_{n} $ la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite $ U_{n} $. Montrer que $ M_{n} $ converge vers l.

En esperant avoir été plus clair

SPOILER:

Je suppose que c'est : soit $ (U_n)_{n\geq 1} $ une suite convergente vers $ l\in\mathbb R $. Montrer que $ (M_n)_{n\geq 1} $ converge vers $ l $.

La solution que je connais utilise la définition de la convergence avec les epsilons :

On a avec l'inégalité triangulaire $ |M_n-l|\leq\frac{1}{n}[|U_1 -l|+\ldots +|U_n-l|] $. Comme $ (U_n) $ converge vers $ l $ il existe un entier $ N\geq 1 $ tel que pour tout $ n\geq N, |U_n-l|\leq\frac{\epsilon}{2} $. Donc pour tout $ n\geq N, |M_n-l|\leq \frac{|U_1 -l|}{n}+\ldots +\frac{|U_{N-1}-l|}{n}+\frac{n-N+1}{n}\frac{\epsilon}{2} $ $ \leq (\frac{|U_1 -l|}{n}+\ldots+\frac{|U_{N-1}-l|}{n})+\frac{\epsilon}{2} $. On remarque que $ V_n:=\frac{|U_1 -l|}{n}+\ldots+\frac{|U_{N-1}-l|}{n} $ tend vers 0 donc par définition il existe un entier $ N'\geq 1 $ tel que pour tout $ n\geq N', |V_n|\leq\frac{\epsilon}{2} $.
Conclusion : $ \forall\epsilon >0,\exists N'':=\max(N,N'),\forall n\geq N'', |M_n-l|\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $ donc $ (M_n) $ tend vers $ l $