Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 06:17

Piko a écrit :Soit $ X $ une fonction strictement monotone de $ \mathbb{N} $ dans lui-même. Montrer qu'il existe trois naturels $ a, b $ et $ c $ tels que $ a < b < c $ et $ X(a) + X(c) = 2X(b) $

Indications :
SPOILER:
La stricte monotonie de la fonction nous intéresse parce qu'elle nous permet de dire que $ X(\mathbb{N}) $ n'est que $ \mathbb{N} $ mais dans un "autre sens".

On peut remarquer que $ X(b)-X(a)=X(c)-X(b) $

$ X $ admet une unique racine $ x_0 $. Pourquoi ? On peut alors choisir $ a=x_0 $
Piko a écrit :Encore raté. :)

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.
SPOILER:
Premièrement, X ne peut être strictement décroissante: En effet, si elle l'est, vu que est une application de N dans N, alors $ X(n+1) \leq X(n) -1 $, et vu qu'elle est minorée par 0, on se rend compte que c'est pas possible. (c'est assez mal expliqué, mais.. l'idée est là? :lol: )

Donc X(n) est strictement croissante, et alors $ X(n+1) \geq X(n) + 1 $ .
Dans ce cas, si $ a < b < c, X(b) = X(a) + q $; q étant un entier naturel, et $ X(b) = X(c) - k $, k étant un entier naturel aussi.

Or, dire que X(a) + X(c) = 2X(b) <=> X(b) - q + X(b) + k = 2X(b) <=> k = q.
Donc c'est vrai si et seulement si la "distance" entre X(a) et X(b) est à un moment la même que celle entre X(b) et X(c), ce qui n'est pas tout le temps vrai..? (X(n) = n², par exemple, elle réunit les conditions données plus haut, mais ne vérifie pas l'énoncé).
Non?
Piko a écrit :Pour le 3., certes, mais on veut un nombre !
Non, si tu veux un nombre, faut changer la question! :mrgreen:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:19

Pour me faire pardonner :
Soit $ (u_n) $ une suite définie par $ u_0 > 0 $ et $ u_{n+1}=\sqrt u_n + 1/(n+1) $

On cherche à démontrer que $ u $ est décroissante à partir d'un certain rang.
Modifié en dernier par Piko le 24 juil. 2015 09:27, modifié 2 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:31

En gros, je viens de me rendre compte que tu peux pas formuler correctement l'exercice sans utiliser le mot bijection. Donc $ X $ est une bijection. Voilà. :mrgreen:
Pour ce qui est de la question 3, oui, bon. Passons. :mrgreen:
Modifié en dernier par Piko le 24 juil. 2015 06:39, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 06:36

Piko a écrit :Pour ce qui est du contre exemple qu'est x^2, c'est parce que j'ai plus ou moins passé sous silence ( :mrgreen: ) une hypothèse ne servant à rien dans la solution, c'est à dire qu'on doit avoir X(N)=N, ce qui n'est pas le cas avec la fonction carrée (Si X(n)=n^2, X(N) ne continent pas 2, par exemple). Il suffit juste de trouver des b et c qui fonctionnent, il n'y a aucune démonstration, en fait.
Si on doit avoir X(N) = N, on peut juste prendre 0; 1 et 2.. :mrgreen:

Et ce qui est de la question 3, ça fait 996, en utilisant U(2n) + U(2n+1) = 1, et en modifiant la somme en: $ ( \sum_{i=0}^{994} u_{2i} + u_{2i+1} ) + u_{1990} $ !

(Et on m'appelle "El Pinaillor Jr". 8) )
Modifié en dernier par MihoAzuki le 24 juil. 2015 06:44, modifié 3 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:41

Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 06:45

Piko a écrit :Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:
Ahahah!
D'ailleurs, je me demandais si y avait des bijections sur N autres que X(n) = n... :?:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 06:58

Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 07:02

Piko a écrit :Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)
Ahah, merci, mais je pense savoir comment faire.
Déjà on montre qu'elle est croissante, strictement.
Et donc que U(n+1) >= U(n) +1
Or, c'est une bijection.
Donc U(n) = n (ça semble logique).

Et là il suffit de trouver un exemple, non?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » 24 juil. 2015 07:06

Non, elle n'est pas croissante du tout, justement, c'est pour ça que je disais que les bijections sur N c'est ouf.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 24 juil. 2015 07:10

Mais.. elle était pas censée être strictement monotone aussi? :cry:
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