Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par adamard10 » 08 août 2015 14:32

En gros on décale la fonction de n unités vers la gauche pour avoir la convergence simple?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 08 août 2015 16:58

Oui on considère la suite de fonctions f(x+n), mais ca marche vers +oo, il n'y a pas besoin de se restreindre a [0,1[ pour x, non ? (comme Oka).

Pour la justification, je propose ca:
lim a^a/(a+b)^(a+b) = lim a^a/a^(a+b) (ici on peut remplacer a+b^a+b par a^a+b car a^(a+b)<(a+b)^(a+b) et si la lim tend vers 0 avec a^a+b elle le fera a forciori avec une fonction plus violente: a+b^a+b)
= lim a^a/a^a*a^b = lim a^(-b) = 0
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » 08 août 2015 21:55

Un joli exercice que je déterre :
Dohvakiin a écrit :Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a<b vérifiant $ \displaystyle a^{b}=b^{a} $ sont de la forme $ \displaystyle a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ \displaystyle b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $, n entier naturel non nul
8)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par into44 » 09 août 2015 02:06

bertizmehd a écrit :jaime les maths.
c'est quoi 10 *10
The TJFK sera ravi d'y répondre, friand ce genre de question :D
(0.5*10^2*2)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par into44 » 09 août 2015 02:19

ah oui ok mdr
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Alexis73 » 09 août 2015 11:13

lsjduejd a écrit :Un joli exercice que je déterre :
Dohvakiin a écrit :Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a<b vérifiant $ \displaystyle a^{b}=b^{a} $ sont de la forme $ \displaystyle a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ \displaystyle b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $, n entier naturel non nul
SPOILER:
Soient $ a $ et $ b $ deux rationnels distincts et strictement positifs tels que $ a<b $ et vérifiant $ a^b=b^a $.
On constate que : $ b=\frac{b}{a}\times a $. Donc :
$ a^b=b^a \Leftrightarrow a^{\frac{b}{a}\times a}=(\frac{b}{a}\times a)^a\Leftrightarrow a^{\frac{b}{a}}=\frac{b}{a}\times a $ (puisque tout est positif).
Ainsi :
$ a^{\frac{b}{a}}=\frac{b}{a}\times a \Leftrightarrow a^{\frac{b}{a} -1}=\frac{b}{a} \Leftrightarrow (a^{\frac{b-a}{a}})^{\frac{a}{b-a}}=(\frac{b}{a})^{\frac{a}{b-a}} $.

En posant $ n=\frac{a}{b-a} $ où $ n>0 $, on a alors : $ \frac{b}{a}=1+\frac{1}{n} $. Ainsi : $ a=(1+\frac{1}{n})^n $ et comme $ b=(1+\frac{1}{n})\times a $, on a bien : $ b=(1+\frac{1}{n})^{n+1} $.

Je pense que ça devrait être bon. Mais du coup on doit vérifier ou pas que les solutions fonctionnent ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par muscovado » 09 août 2015 13:09

tu n'as pas prouvé que n était entier

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Alexis73 » 09 août 2015 16:53

Ah oui, j'avais pas vu.
Comment donc le démontrer ? En raisonnant par l'absurde ? (à première vue je vois ça)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 09 août 2015 17:59

Je relance avec un pas dur du tout mais rigolo à résoudre :
Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est pas le produit d'exactement deux nombres premiers
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ticotanar » 09 août 2015 18:20

Tornado a écrit :Je relance avec un pas dur du tout mais rigolo à résoudre :
Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est pas le produit d'exactement deux nombres premiers
SPOILER:
Bon pour 2 et 3 on a 2+3=5 qui n'est pas le produit de deux nombres premiers.

Maintenant soient p1 et p2 deux nombres premiers consécutifs avec p2>p1=/=2.

Supposons que p1+p2 est le produit de deux nombres premiers exactement:

p1+p2 est pair donc p1+p2=2*p3 avec p3 premier
p3=(p1+p2)/2 on a donc p1<p3<p2 ce qui est absurde car p1 et p2 sont des nombres premiers consécutifs.
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