Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 10 août 2015 20:29

Tkt corde on stresse pas, le fais pas pour nous :D
C'est juste un peu frustrant de pas avoir la fin des exos que t'as commence à chercher !
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par adamard10 » 10 août 2015 21:13

Tornado : j'ai publié l'exo sans connaitre exactement la démo, j'avais juste vu un exercice sur ça
http://www.academia.edu/9876670/Exp-ln-irrationnel
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » 10 août 2015 21:17

Alexis73 a écrit :Ah oui, j'avais pas vu.
Comment donc le démontrer ? En raisonnant par l'absurde ? (à première vue je vois ça)
C'est le point délicat :mrgreen:

Je te propose d'abord de montrer ce qui suit et de reprendre les recherches :
SPOILER:
Soient a,b deux entiers naturels non-nuls premiers entre eux et p,q deux autres entiers naturels non-nuls premiers entre eux tels que :
$ (\frac{a}{b})^{\frac{p}{q}} $ est rationnel. Montrer alors que a et b sont des puissances q-ième.
8)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MarvinLeRouge » 10 août 2015 21:46

lsjduejd a écrit :Tu vois l'exo que j'ai reposté récemment, je l'avais pas trouvé quand j'étais en terminale et pourtant il m'avait paru bien cool. Si cool que je l'ai finalement re-cherché cette année.
Bah si des TS ont envie de t'avoir pour modèle ils piocheront eux meme des exos dans le topic des Mp* hein :)
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SPOILER:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MSman » 10 août 2015 22:00

On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » 10 août 2015 22:04

MarvinLeRouge a écrit : Bah si des TS ont envie de t'avoir pour modèle ils piocheront eux meme des exos dans le topic des Mp* hein :)
Ouais, ok.
8)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par JeanN » 10 août 2015 23:45

adamard10 a écrit :Oups, je pensais que "ca revient à dire" signifiait une équivalence
Moi aussi...
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 11 août 2015 00:42

Dans une école, les étudiants peuvent faire du football ou du basketball. Un cinquième des étudiants qui jouent au football jouent également au basketball et un septième de ceux qui jouent au basketball jouent aussi au football. Si 110 étudiants pratiquent un seul de ces deux sports, combien pratiquent les deux sports ?
SPOILER:
Soit F le nombre d'élèves jouant au foot, et B le nombre de ceux jouant au Basket.
Soit D le nombre d'élèves pratiquant les deux sports, $ D = \frac{1}{5}F = \frac{1}{7}B $ donc $ F = \frac{5}{7}B $

De plus, $ \frac{4}{5}F + \frac{6}{7}B = 110 $ donc $ \frac{10}{7}B = 110 $, on a donc $ B = 77 $, ou encore $ D = 11 $.
Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers positifs qui satisfont l’équation a2+10b=2010.
SPOILER:
$ a^2 + 10b = 2010 $
Donc $ a^2 \equiv 0 \pmod {10} $
Alors $ a \equiv 0 \pmod {10} $ , ou encore$ a = 10k $. (on peut observer ça via un tableau de congruence modulo 10)
$ (10k)^2 + 10b = 2010 $
$ 10k^2 + b = 201 $
Et vu que b positif, k < 5 (vu que 10*5² = 250 > 201)
Donc les couples sont:
$ (0;201) ; (10;191) ; (20;161) ; (30; 111); (40;41) $
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » 11 août 2015 01:48

corderaide a écrit :
Un cube d’arête $ n $ cm est peint, puis découpé en $ n^3 $ petits cubes d’arête 1 cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre n le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?
SPOILER:
n=2 ou n=8.
Pour la justification, j'ai essayé de trouver le nombre de cubes colorés sur une/deux/trois/aucune face en fonction de n (ça vaut respectivement 6(n-2)² / 12(n-2) / 8 / (n-2)^3 ) et j'ai trouvé les solutions de (n-2)^3 = 6(n-2)² . :mrgreen: (pour justifier le nombre de cubes colorés sur X faces, j'ai fait un dessin! :lol: )
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 11 août 2015 11:51

adamard10 a écrit :Tornado : j'ai publié l'exo sans connaitre exactement la démo, j'avais juste vu un exercice sur ça
http://www.academia.edu/9876670/Exp-ln-irrationnel
Merci pour le lien, je regarde quand j'ai le temps ! ;)
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