Exercices de MPSI

[wallissen]

wallissen : oui.
Syl20 : bravo si tu as trouvé pourquoi c'était évident géométriquement ! Tu as fait l'essentiel du travail. Après, le reste c'est des trucs qui sont peut-être pas évidents pour un TS, mais qui le deviendront sans problème en prépa. Si cet exercice était posé à l'oral ou en colle, je pense que le dessin suffirait quasiment.

Du coup on peut le faire sans passer par des trucs genre cauchy schwartz ? (je savais pas que Cuchy Schwarz est Hors Programme )

@ladmzjkf

[troll] Fais le Cassini [/troll]

[Mykadeau]

Exercice 548.0 : soient $ a<b $ deux réels et $ f : [a, b] \to \R $ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que f(a) = f(b) = 0. Soit$ M \geq $ 0 un réel. On suppose que pour tout$ x \in [a, b] $, on a$ |f'(x)| \leq M $. Montrer que$ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $.

Je vois pourquoi ça fonctionne mais c'est assez difficile à justifier...

SPOILER:

On se place dans un repère orthonormé de centre a.Pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ -M \leq f'(x) \leq M $ donc a courbe représentative de $ f $ n'admet aucune tangente aux coefficient directeur supérieur a$ M $ou inférieur à $ -M $. On en déduit que l'aire de cette courbe est inférieure a celle d'un triangle formé par les droites A de coefficient directeur $ M $ passant par $ a $, $ B $ de coefficient directeur $ -M $ passant par$ b $ , et l'axe des abscisses. Or l'aire d'un triangle est égal a (coté *hauteur)/2 soit l'aire de ce triangle est égal a $ (b-a)*\frac{M(b-a)}{2}*\frac{1}{2} $
On en déduit finalement que $ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $

[darklol]

Exercice 548.0 : soient $ a<b $ deux réels et $ f : [a, b] \to \R $ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que f(a) = f(b) = 0. Soit$ M \geq $ 0 un réel. On suppose que pour tout$ x \in [a, b] $, on a$ |f'(x)| \leq M $. Montrer que$ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $.

Je vois pourquoi ça fonctionne mais c'est assez difficile à justifier...

SPOILER:

On se place dans un repère orthonormé de centre a.Pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ -M \leq f'(x) \leq M $ donc a courbe représentative de $ f $ n'admet aucune tangente aux coefficient directeur supérieur a$ M $ou inférieur à $ -M $. On en déduit que l'aire de cette courbe est inférieure a celle d'un triangle formé par les droites A de coefficient directeur $ M $ passant par $ a $, $ B $ de coefficient directeur $ -M $ passant par$ b $ , et l'axe des abscisses. Or l'aire d'un triangle est égal a (coté *hauteur)/2 soit l'aire de ce triangle est égal a $ (b-a)*\frac{M(b-a)}{2}*\frac{1}{2} $
On en déduit finalement que $ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $

Tout à fait c'est l'idée! Reste à le démontrer rigoureusement. Est-ce que l'inégalité des accroissements finis est au programme de terminale?

[Mykadeau]

Jamais entendu parler en tout cas, je crois pas.

[Tornado]

Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

Programme de sup maintenant, du coup je mets en spoiler parce que ça a pas trop sa place ici :

SPOILER:

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ de classe $ \mathrm{C}^{\infty} $ telle que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, il existe $ n \in \mathbb{N} $ tel que $ f^{(n)}(x) = 0 $. Montrer que $ f $ est polynomiale.

Les deux sont vraiment difficiles et assez ouverts, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.

Merci pour ces exos.

Symétrie, une petite question: comment conseillerais-tu de lire l'algèbre, lire le cours sous un angle plus géométrique ou tout simplement lire le cours par exemple de tout-en-un ?
J'ai "Linear Algebra through Geometry"-Banchoff & Werner, dans tout le livre le traite l'algèbre en rapport avec la géométrie

En fait il faut que tu distingues algèbre linéaire et algèbre dite "générale" (j'ai pas vraiment de qualificatifs à l'esprit ...). L'algèbre linéaire se prête tout à fait à la géométrie car elle développe une théorie riche sur les vecteurs et espaces de vecteurs (en particulier par exemple ceux auxquels on pense lorsqu'on fait de la géométrie), tandis que l'algèbre dite générale, que tu étudieras un peu en sup/spé consiste en l'étude de "structures" que l'on met sur des ensembles (on étudie en particulier les propriétés d'ensembles munis de lois, comme l'addition ... puis progressivement ça devient assez abstrait). Mais si tu es en TS et que tu veux t'avancer, je ne te conseille pas vraiment de bosser sur ce thème parce que ça va te prendre énormément de temps, et que ton prof l'expliquera beaucoup beaucoup plus clairement que si tu apprends dans un bouquin (à cause du niveau d'abstraction par exemple). Donc moi je dirais plutôt de faire de l'analyse ou des trucs funs genre combinatoire, plutôt que de commencer l'algèbre tout seul dans ton coin.
Bon après si t'as le bouquin, lis le, ce sera mieux que de le garder fermé haha

Symétrie, bon courage pour les concours, on compte sur vous les spés pour tout défoncer cette année !
Vraiment tous mes voeux de réussite

[Syl20]

Exercice 548.0 : soient $ a<b $ deux réels et $ f : [a, b] \to \R $ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que f(a) = f(b) = 0. Soit$ M \geq $ 0 un réel. On suppose que pour tout$ x \in [a, b] $, on a$ |f'(x)| \leq M $. Montrer que$ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $.

Je vois pourquoi ça fonctionne mais c'est assez difficile à justifier...

SPOILER:

On se place dans un repère orthonormé de centre a.Pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ -M \leq f'(x) \leq M $ donc a courbe représentative de $ f $ n'admet aucune tangente aux coefficient directeur supérieur a$ M $ou inférieur à $ -M $. On en déduit que l'aire de cette courbe est inférieure a celle d'un triangle formé par les droites A de coefficient directeur $ M $ passant par $ a $, $ B $ de coefficient directeur $ -M $ passant par$ b $ , et l'axe des abscisses. Or l'aire d'un triangle est égal a (coté *hauteur)/2 soit l'aire de ce triangle est égal a $ (b-a)*\frac{M(b-a)}{2}*\frac{1}{2} $
On en déduit finalement que $ \int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2 $

Tout à fait c'est l'idée! Reste à le démontrer rigoureusement. Est-ce que l'inégalité des accroissements finis est au programme de terminale?

Il me semble qu'on en a déjà parlé il y a quelques pages, c'est hp

[dark-raval]

Suis-je le seul terminale a avoir du mal a ''comprendre'' ces demonstrations ? c'est ce qu'on va faire en prepa MPSI ? Parce que la je m'inquiete enormement haha !

[symétrie]

dark-raval : non t'inquiète pas, ça n'a rien de choquant de pas comprendre tout ça en TS.

Syl20 : normalement y'a pas besoin du théorème des accroissements finis.

ladmzjkf : je sais pas trop. Lire des maths, je crois que c'est toujours dur, en tout cas moi j'ai toujours du mal. En algèbre linéaire ouais faut essayer de se représenter les choses. Par contre j'aime pas trop le tout-en-un, et plus généralement tout ce qui est trop long, en tout cas pour découvrir un sujet. Essaie peut-être de te faire une petite idée de ce qu'est l'algèbre linéaire sans te plonger dans un bouquin de 300 pages. Mais sinon globalement je te conseille de laisser ça pour l'an prochain.

Tornado : Merci ! On va essayer de pas vous décevoir. :p (Enfin moi vu que je suis nul en physique je garantis tout particulièrement rien.)

[Mykadeau]

Perso j'arrive à comprendre la plupart des trucs (mais j'ai beaucoup de mal à rédiger). Mais de toute façon tout ce que l'on fait n'a absolument rien a voir avec la mpsi ( déjà on aura des cours :p). Pas de stress, les prépas qui te sélectionnerons ont de l'expérience la dedans.

[Syl20]

Suis-je le seul terminale a avoir du mal a ''comprendre'' ces demonstrations ? c'est ce qu'on va faire en prepa MPSI ? Parce que la je m'inquiete enormement haha !

Ne t'inquiète pas ! De manière générale, les démonstrations proposées sont souvent mal rédigées, voire fausses (les miennes en tout cas ), et si tu ne t'es pas plongé dedans, ça me semble plutôt logique que tu ne les comprennes pas..