Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par phibang » 20 avr. 2016 21:16

Non.
Mykadeau a écrit : Une proposition:
SPOILER:
f et g sont périodique de période $ \frac{2\pi}{\omega } $ et$ \frac{2\pi}{\omega '} $.
f+g période signifierait qu'il existe k réél tel que $ cos(w(t+k))+cos(w'(t+k))=cos(wt)+cos(w't) $
Soit $ cos(wt)=cos(w(t+k)) $ et $ cos(w't)=cos(w'(t+k)) $ Non ! Comment obtiens tu cela ?
, donc k est un multiple de leurs périodes respectives, donc il existe n et q entier relatif tel que
$ n\frac{2\pi}{\omega }=q\frac{2\pi}{\omega '} $
alors $ \frac{\omega}{\omega '} =\frac{n}{q} $ avec n et q entier relatif donc$ \frac{\omega}{\omega '} \in \mathbb{Q} $
Pense aussi que tu veux montrer une équivalence c'est à dire une double implication donc il faudra montrer que si f+g est périodique alors ... (flemme de recopier) et que si ... alors f+g est périodique.
Syl20 a écrit : Considère-t-on deux murs images l'un de l'autre par un miroir comme identiques ? (vu que si on change de côté, ils sont tous les 2 pareils)
Non ils sont différents.
o
ooo est différent de
__o
ooo

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 20 avr. 2016 22:07

Syl20 a écrit :
Tonio1804 a écrit :
[Exercice 555.1]
Un maçon dispose de n briques indistinguables pour construire un mur vertical sans trous. Ainsi, toute brique se trouve soit sur le sol, jouxtant une autre brique, soit posée sur une autre brique. Déterminer le nombre de formes de murs distincts que le maçon peut construire.
Considère-t-on deux murs images l'un de l'autre par un miroir comme identiques ? (vu que si on change de côté, ils sont tous les 2 pareils)
Méthode chelouuuuu :
SPOILER:
On considère ça comme un snake (oui oui le jeu avec le serpent qui va soit en haut soit à droite). Il est nécessaire de poser une pierre initiale comme point de départ. Nous reste alors n-1 pierres. On considère que chaque pierre constitue un pas : une fois une pierre posée, soit on monte en haut, soit on poursuis le mur au même niveau à droite. 2 choix par pierre, soit $ 2^{n-1} $ choix possibles ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Syl20 » 20 avr. 2016 22:17

Et pour ça :
_0
000
Pas de snake non ?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 20 avr. 2016 22:19

Syl20 a écrit :Et pour ça :
_0
000
Pas de snake non ?
Il me paraissait évident que les boules tombaient quand elles étaient dans le vide.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par phibang » 20 avr. 2016 22:19

"Chelou" si tu veux mais qui fonctionne. Bravo ! :)
Il y a également deux autres méthodes à ma connaissance : une en trouvant une relation de récurrence qui fournir quasi immédiatement le résultat.
L'autre qui se sert de cet exercice :
Soit n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n. On dispose de n pommes et de p paniers. Combien y-a-t-il de façons de répartir les pommes dans ces paniers ?

Syl20 : vois ça comme un Tetris :P Si tu mets ta brique à droite elle descend jusqu'en bas (jusqu'à rencontrer le sol ou une autre brique)
Ici le "code" serait : on pose la première puis droite,haut,droite.
Modifié en dernier par phibang le 20 avr. 2016 22:25, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 20 avr. 2016 22:23

Tonio1804 a écrit :"Chelou" si tu veux mais qui fonctionne. Bravo ! :)
Il y a également deux autres méthodes à ma connaissance : une en trouvant une relation de récurrence qui fournir quasi immédiatement le résultat.
L'autre qui se set de cet exercice :
Soit n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n. On dispose de n pommes et de p paniers. Combien y-a-t-il de façons de répartir les pommes dans ces paniers ?

Syl20 : vois ça comme un Tetris :P Si tu mets ta brique à droite elle descend jusqu'en bas (jusqu'à rencontrer le sol ou une autre brique)
Ici le "code" serait : on pose la première puis droite,haut,droite.
Ok merci :D

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kakille » 21 avr. 2016 11:30

A propos de ces histoires d'analyse-synthèse, de "Réciproquement,..." :

Etant donné deux ensembles $ E $ et $ F $, on veut montrer que$ E=F $. Sauf exception ponctuelle qui permet d'éviter le mouvement en deux temps qui suit, on montre que $ E $ est inclus dans $ F $ et que $ F $ est inclus dans $ E $.

Un exemple de mise en place un peu bidon (on peut résoudre par équivalence), c'est juste pour illustrer : résoudre dans les réels l'équation $ x=\sqrt{x+1} $.

On introduit l'ensemble $ E=\left\{x\in\mathbb{R}, x=\sqrt{x+1}\right\} $. Résoudre l'équation, c'est "expliciter" cet ensemble.

Analyse, ou "Cherchons dans quoi E est inclus" : un élément $ x $ de $ E $ vérifie $ x=\sqrt{x+1} $ donc aussi $ x^2=x+1 $ donc appartient à $ \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $. Conclusion partielle : $ E\subset \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $. Donc E est soit :
1. l'ensemble vide
2. l'ensemble $ \left\{(1+\sqrt{5})/2\right\} $
3. l'ensemble $ \left\{(1-\sqrt{5})/2\right\} $
4. l'ensemble $ \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $

Synthèse, ou "Déterminons lequel des 4 ensembles est le bon" : il suffit de tester un par un les éléments du plus gros ensemble pour le savoir. On écarte tous ceux qui ne fonctionnent pas. Et on est pas toujours dans le cas où c'est le plus gros qui convient, c'est-à-dire dans le cas où on peut garder tout le monde. D'où le fait qu'on ne peut pas se contenter de la seule analyse.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par PiCarréSurSix » 21 avr. 2016 12:38

Un pas trop compliqué :
[556.2]
La suite $ (u_n) $ telle que pour tout $ n \ge 2 $:
$ u_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^2}) $
Admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
Pas d'indication, ça serait trop simple pour vous :lol:

Edit : On excusera mon lien foireux. :mrgreen:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 21 avr. 2016 13:11

kakille a écrit :A propos de ces histoires d'analyse-synthèse, de "Réciproquement,..." :

Etant donné deux ensembles $ E $ et $ F $, on veut montrer que$ E=F $. Sauf exception ponctuelle qui permet d'éviter le mouvement en deux temps qui suit, on montre que $ E $ est inclus dans $ F $ et que $ F $ est inclus dans $ E $.

Un exemple de mise en place un peu bidon (on peut résoudre par équivalence), c'est juste pour illustrer : résoudre dans les réels l'équation $ x=\sqrt{x+1} $.

On introduit l'ensemble $ E=\left\{x\in\mathbb{R}, x=\sqrt{x+1}\right\} $. Résoudre l'équation, c'est "expliciter" cet ensemble.

Analyse, ou "Cherchons dans quoi E est inclus" : un élément $ x $ de $ E $ vérifie $ x=\sqrt{x+1} $ donc aussi $ x^2=x+1 $ donc appartient à $ \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $. Conclusion partielle : $ E\subset \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $. Donc E est soit :
1. l'ensemble vide
2. l'ensemble $ \left\{(1+\sqrt{5})/2\right\} $
3. l'ensemble $ \left\{(1-\sqrt{5})/2\right\} $
4. l'ensemble $ \left\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\right\} $

Synthèse, ou "Déterminons lequel des 4 ensembles est le bon" : il suffit de tester un par un les éléments du plus gros ensemble pour le savoir. On écarte tous ceux qui ne fonctionnent pas. Et on est pas toujours dans le cas où c'est le plus gros qui convient, c'est-à-dire dans le cas où on peut garder tout le monde. D'où le fait qu'on ne peut pas se contenter de la seule analyse.
Retenez bien ça les TS, grosso modo c'est ce qui manque même en prépa ... Et même chez des gens très bons.
En gros, tu fais l'analyse (en général la partie la plus compliquée), tu trouves un jouli résultat, t'es tout content et t'oublies la phrase qui tue "Réciproquement, cette fonction convient" (4 petits mots), et bing tu perds la moitié des points à la question, et t'as un joli "LOGIQUE !!" sur ta copie ;)
Donc si ça peut être un réflexe à acquérir à l'entrée en sup, et ben prenez le, c'est important
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Pauwl » 21 avr. 2016 13:19

[556.2]
La suite $ (u_n) $ telle que pour tout $ n \ge 2 $:
$ u_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^2}) $
Admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
SPOILER:
$ u_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^2}) $
$ u_n=\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \frac{k^2-1}{k^2} $
et comme $ k>1 $, $ \frac{k^2-1}{k^2}>0 $ et donc pour tout n entier naturel $ u_n>0 $
donc $ u_n $ minoré par 0
$ \frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{1}{(n+1)^2}<1 $ car produit telescopique
donc $ u_n $ est decroissante
suite decroissante et minorée donc convergente
de plus $ u_{n+1}=u_n*(1-\frac{1}{(n+1)^2}) $ ( je suis peut être censé le démontrer par récurrence mais j'ai la flemme :mrgreen: )
en passant à la limite on a $ l=l*1 $ donc $ 2l=0 $ et $ l=0 $ donc cette suite converge vers 0
Pour l'analyse synthèse, j'avoue que j'ai du mal particulièrement pour la phase d'analyse qui,je trouve, est assez abstraite car au final on ne résoud que partiellement le probleme ( par exemple, dans l'exemple de kakille on a carrément plusieurs propositions de réponse ) après je suppose qu'on l'apprendra de façon plus pédagogique l'année prochaine

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