Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jio15 » 29 juin 2016 21:24

SPOILER:
Si on prend les $ (A_i) $ et les $ (E-A_i) $, on obtient $ 2p $ parties deux à deux distinctes de $ E $ (elles sont distinctes car si $ A_i=E-A_j $ alors $ A_i \cap A_j = \emptyset $ ce qui contredit l'hypothèse). Cela n'est possible que si $ 2p \leq |P(E)| = 2^n $ donc $ p \leq 2^{n-1} $.
Maintenant, prenons un élément $ a \in E $ quelconque et prenons pour les $ (A_i) $ l'ensemble des parties de $ E $ contenant $ a $. Cette suite vérifie toutes les conditions et contient $ 2^{n-1} $ éléments donc la borne est atteinte.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 29 juin 2016 21:30

Yep ;)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Mykadeau » 29 juin 2016 21:37

Soit $ E $ un ensemble fini à $ n $ éléments. Soient $ A_1, ... , A_p $ des parties de $ E $ telles que pour $ 1 \leq i \neq j \leq n $ on ait $ A_i \neq A_j $ et $ A_i \cap A_j \neq \emptyset $. Montrer que dans ces conditions, $ p \leq 2^{n-1} $ et montrer que cette borne peut être atteinte.
Question pour ce genre de chose: si p=1, la condition $ A_i \cap A_j \neq \emptyset $ n'a pas de sens , est-ce que cela veut dire que l'on ne considère pas un ensemble E à 1 élément?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jio15 » 29 juin 2016 21:40

Une propriété commençant par un quantificateur universel concernant l'ensemble vide est toujours vraie.
(En l’occurrence, c'est l'ensemble des couples $ (i,j) $ tels que $ i \neq j $ qui est vide)

Par contre pour n=0, l'hypothèse peut être vérifiée (avec $ A_1=\emptyset $) sans que la condition ne soit vraie (la preuve ne fonctionne pas parce que si $ E=\emptyset $ et $ A=\emptyset $, alors $ E-A \neq A $ est faux :lol: ), ce cas-là est donc problématique.
Modifié en dernier par Jio15 le 29 juin 2016 21:46, modifié 2 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Mykadeau » 29 juin 2016 21:44

D'accord merci, pas de problème de définition du coup.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par SigmaPi » 29 juin 2016 21:49

donnerwetter a écrit :
SigmaPi a écrit :
SPOILER:
Je crois qu'il manque un truc important à ton raisonnement pour arriver à ton premier résultat ;) Car 9 pour le premier couple, il ne reste pas 175 couples mais bien 174 donc 10^174 ?
Tu as oublié de compter le chiffre du milieu. On arrive donc bien à 9 10^175 :wink:
SPOILER:
Oui je sais bien :) Mais tu as oublié de le préciser ;)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jio15 » 29 juin 2016 21:49

Dure vie que celle des mouches dans la chambre à SigmaPi...
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » 29 juin 2016 21:56

Dixit le mec qui vient de dire que le cas n=0 de l'exo précédent ne marche pas (je charrie ;) )
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jio15 » 29 juin 2016 22:07

Tu marques un point ! :lol:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par SigmaPi » 29 juin 2016 22:21

Jio15 a écrit :Dure vie que celle des mouches dans la chambre à SigmaPi...
AHahahahahahahahahahahaahahahahahahahahahahahaahahahahahaha :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:
:wink:

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