Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ladmzjkf » 29 août 2016 03:48

Jio15 a écrit :
donnerwetter a écrit :Un exo d'arithmétique que j'ai trouvé assez hardcore :
Soient $ a,b\in \mathbb{N}-\{0;1\} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer l'implication : $ a^n+b^n $ premier $ \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, n=2^k $.
Une fois de plus, je dois admettre que je ne comprends pas bien ce que tu attends d'un term face à un tel exercice, qui est soit infaisable soit trivial selon qu'on connaisse ou non l'existence de la formule $ a^n-b^n $. Là où l'exercice peut être formateur pour des term, c'est probablement sur le fait de s'exercer proprement au raisonnement par l'absurde et d'apprendre à formuler la négation de propositions comme "n est une puissance de 2".
A mon humble avis, c'est surtout l'écriture d'un entier $ N $ de la forme $ 2^p(2q+1) $ qui trivialise tout l'exercice, parce que la formule de $ a^n-b^n $ je pense qu'elle est connue des intervenants du topic dont donnerwetter.
Quoique l'écriture $ 2^p(2q+1) $ est évidente, ce n'est pas sûr d'y penser si on ne l'a jamais vue ... (c'est le cas pour moi avec ce même exercice).

Cela dit, voici un exercice que je trouve joli:
  • Montrer que chaque entier naturel non nul $ n $ s'écrit de façon unique telle que : $ n=2^p(2q+1) $
  • Montrer que $ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ définie plus haut n'est pas un entier pour tout $ n>1 $
Note: On peut ne pas utiliser la question 1 (ce qui revient à dire : utiliser la récurrence)
On pourrait même pousser le résultat plus loin sans changer de raisonnement, montrer que $ H_{n,m}=\sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k} $ n'est pas un entier si $ m,n>1 $


Et voici un autre, qui est hardcore^hardcore :lol:
symétrie a écrit :Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

L'exercice est vraiment difficile et assez ouvert, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.
SPOILER:
Sérieusement, cet exercice est vraiment dur, j'avais séché dessus pendant qlq jours (30 min avec une feuille et un stylo et donc bien concentré + les réflexions pendant le trajet lycée-maison ), et même après tout ce temps, je n'ai fait que quelques cas (3 ou 4: $ u_0 \in \mathbb Q $ et A un intervalle ou une réunion d'intervalles + inf A=0 ou non + autre cas que j'ai oublié ) + ce n'était pas rigoureux, et parfois je construisais mes raisonnements sur et seulement sur l'intuition.
Par exemple la différence (que j’appelle le "pas") u_{n+1}-u_n est décroissante, supposons que u_N soit le premier terme qui n'est pas dans [a,b] on suppose de plus que $ u_N>b $ (juste pour l'exemple) , puisque $ u_N $ est en dehors de $ [a,b], u_{N+1}<u_N $, la suite va continuer à descendre jusqu'à entrer dans [a,b], une fois entrée elle va croître jusqu'à en ressortir, ce processus est répété à l'infini, et le pas devient infiniment petit, donc lim u_n dans ce cas est b (c'est plutôt une partie de ping-pong ici que des maths :lol: )

Bref, tout ça pour dire que l'exo est vraiment hardcore mais sympa en même temps, je ne le conseille pas pour quelqu'un qui entre en mpsi dans qlq jours (sauf pour un monstre), je le conseille plutôt à un futur TS qui s’ennuie ... Je go dormir.

P.S: Un jour je vais finir cet exo :evil: c'est juste une question de temps

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par gchacha » 29 août 2016 03:58

ladmzjkf a écrit :
Cela dit, voici un exercice que je trouve joli:
  • Montrer que chaque entier naturel non nul $ n $ s'écrit de façon unique telle que : $ n=2^p(2q+1) $
  • Montrer que $ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ définie plus haut n'est pas un entier pour tout $ n>1 $
Note: On peut ne pas utiliser la question 1 (ce qui revient à dire : utiliser la récurrence)
Il s'agit d'un corollaire du
SPOILER:
théorème de Kurschak.
Un autre marrant est : "Pour $ n\in \mathbb{N}^* $, on note $ \mu(n) $ la somme des diviseurs de $ n $. Montrer que $ \mu(n)\le n+n \ln(n) $. On pourra commencer par montrer que $ \frac{1}{k}\le \int_{k-1}^{k} \frac{1}{t}\mathrm{d}t $ pour $ k\in\{2,...,n\} $."
Dernière modification par gchacha le 29 août 2016 06:37, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ladmzjkf » 29 août 2016 04:12

gchacha peux-tu enlever le nom du théorème pour laisser les autres chercher ? merci
Un autre marrant est : "Pour $ n\in \mathbb{N}^* $, on note $ \mu(n) $ la somme des diviseurs de $ n $. Montrer que $ \mu(n)\le n+n \ln(n) $. On pourra commencer par montrer que $ \frac{1}{k}\le \int_{k-1}^{k} \frac{1}{t}\mathrm{d}t $ pour $ k\in\{2,...,n\} $.
SPOILER:
la somme des diviseurs $ \leqslant n \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}=n(1+\sum_{2}^{n})\leqslant n(1+ln(n)-ln(1)) $

MorphismeC

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MorphismeC » 29 août 2016 05:01

ladmzjkf a écrit : Et voici un autre, qui est hardcore^hardcore :lol:
symétrie a écrit :Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

L'exercice est vraiment difficile et assez ouvert, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.
Issu du TFJM 2015 (pb 6) pour ceux qui aimeraient bien quelques questions intermédiaires ou des cas intéressants de $ A $ mais effectivement, se plonger dedans à quelques jours de la rentrée n'est pas forcément très judicieux :lol:

apzoeiruty3

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par apzoeiruty3 » 29 août 2016 06:58

Cela me parait faux mais
SPOILER:
La suite (Un) est bornée donc il existe une sous suite convergente, puis en +inf, l'écart entre Un et Un+1 est majoré par 1/n, donc les termes sont toujours plus rapprochés : ce point d'accumulation est unique donc la suite converge
Par contre j'arrive pas à déterminer la proportion d'intervalle A tels que cette limite est dans A à U0 fixé, est-ce possible ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par donnerwetter » 29 août 2016 11:03

Montrer que $ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ définie plus haut n'est pas un entier pour tout $ n>1 $
Ah oui il est sympa celui-là. Une petite indic à laquelle c'est bien de penser pour beaucoup d'exos (du coup c'en est pas vraiment une ^^) :
SPOILER:
Calculer les premiers termes de $ (H_n) $ et établir une conjecture.
symétrie a écrit :Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?

L'exercice est vraiment difficile et assez ouvert, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.
C'est ma bête noire cet exercice, j'y ai passé un temps fou sans réussir à rien faire d'exhaustif. Je pense que je vais aller voir les questions intermédiaires de MorphismeC sinon je l'aurai toute ma vie sur la conscience :mrgreen:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 29 août 2016 11:30

apzoeiruty3 a écrit :Cela me parait faux mais
SPOILER:
La suite (Un) est bornée donc il existe une sous suite convergente, puis en +inf, l'écart entre Un et Un+1 est majoré par 1/n, donc les termes sont toujours plus rapprochés : ce point d'accumulation est unique donc la suite converge
SPOILER:
Effectivement sans arguments supplémentaires, je peux te fournir un exemple de suite bornée dont la différence entre termes consécutifs est majorée par 1/n mais qui ne converge pas :

En notant E la partie entière, considérer pour n>0, $ u_n = \frac{1}{2(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (-1)^{E\left(\frac{ln(k)}{ln(2)}\right)} $ et étudier spécifiquement la suite extraite $ (u_{_{2^n-1}}) $

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par VanXoO » 29 août 2016 11:35

Non c'est faux, le point d'accumulation n'est pas forcément unique, imagine la suite log(n) mais qui "rebondirait" dans [0,1] au lieu de partir à l'infini.
Edit : devancé
15-16 : MPSI
16-17 : MP*
(Fermat)

apzoeiruty3

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par apzoeiruty3 » 29 août 2016 19:21

Effectivement merci :)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ladmzjkf » 29 août 2016 19:51

@donnerwetter: on peut aussi faire l'exo sans récurrence
Résoudre dans $ \mathbb N^2: 2^p-3^q=1 $

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