A mon humble avis, c'est surtout l'écriture d'un entier $ N $ de la forme $ 2^p(2q+1) $ qui trivialise tout l'exercice, parce que la formule de $ a^n-b^n $ je pense qu'elle est connue des intervenants du topic dont donnerwetter.Jio15 a écrit :Une fois de plus, je dois admettre que je ne comprends pas bien ce que tu attends d'un term face à un tel exercice, qui est soit infaisable soit trivial selon qu'on connaisse ou non l'existence de la formule $ a^n-b^n $. Là où l'exercice peut être formateur pour des term, c'est probablement sur le fait de s'exercer proprement au raisonnement par l'absurde et d'apprendre à formuler la négation de propositions comme "n est une puissance de 2".donnerwetter a écrit :Un exo d'arithmétique que j'ai trouvé assez hardcore :
Soient $ a,b\in \mathbb{N}-\{0;1\} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer l'implication : $ a^n+b^n $ premier $ \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, n=2^k $.
Quoique l'écriture $ 2^p(2q+1) $ est évidente, ce n'est pas sûr d'y penser si on ne l'a jamais vue ... (c'est le cas pour moi avec ce même exercice).
Cela dit, voici un exercice que je trouve joli:
On pourrait même pousser le résultat plus loin sans changer de raisonnement, montrer que $ H_{n,m}=\sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k} $ n'est pas un entier si $ m,n>1 $Note: On peut ne pas utiliser la question 1 (ce qui revient à dire : utiliser la récurrence)
- Montrer que chaque entier naturel non nul $ n $ s'écrit de façon unique telle que : $ n=2^p(2q+1) $
- Montrer que $ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ définie plus haut n'est pas un entier pour tout $ n>1 $
Et voici un autre, qui est hardcore^hardcore
symétrie a écrit :Théoriquement à peu près faisable en TS (certains reconnaîtront peut-être) :
Étant donné $ A $ une partie de $ [0, 1] $ et $ u_0 \in [0, 1] $ on définit la suite $ (u_n) $ de la façon suivante : $ u_{n + 1} $ est la proportion de termes de $ u_0 $ à $ u_n $ qui appartiennent à $ A $. Est-il vrai que $ (u_n) $ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $ A $, et $ u_0 $ ?
L'exercice est vraiment difficile et assez ouvert, donc c'est assez instructif de chercher même si on n'aboutit pas.