Exercices de MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Salimovich » 01 juin 2019 04:44

Dohvakiin a écrit :
06 juil. 2012 12:11
Assez connu et sympathique, des IMO 1975:

Soit f(n) qui à n associe la somme de ses chiffres (ex f(87)=15)). Trouver f(f(f(4444^4444))).
SPOILER:
Pour tout $ n $ le nombre de chiffres de $ n $ est l'unique entier $ N_n $ tel que $ 10^{N_n-1} \le n \le 10^{N_n} $ d'où $ N_n - 1 \le \frac{\ln(n)}{\ln(10)} \le N_n $ et comme $ N_n-1 $ et $ N_n $ sont deux entiers consécutifs on trouve $ \forall n \in \mathbb{N}, N_n = E(\frac{\ln(n)}{\ln(10)}+1) $

D'autre part on considère $ n $ dans $ \mathbb{N} $ un nombre de $ m $ chiffres et $ (a_i)_{i \in [1;m]} \in [0;9] $ ses chiffres (indexés en partant du chiffre des unités). On a alors $n \equiv \sum_{i=1}^{m} a_i \cdot 10^{i-1} \pmod 9 \Rightarrow n \equiv \sum_{i=1}^{m} a_i \pmod 9$ d'où $\forall n \in \mathbb{N}, f(n) \equiv n \pmod 9$

On a donc $f(4444^{4444}) \le 9 \cdot E(\frac{\ln(4444^{4444})}{\ln(10)}+1)$ i.e $f(4444^{4444}) \le 16211$. Comme l'entier de $[0;16211]$ maximisant la somme de ses chiffres est $9999$ on trouve $f(f(4444^{4444})) \le 36$ et par un raisonnement similaire sur $[0;36]$ il vient $f(f(f(4444^{4444}))) \le 11$ . Or $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \pmod 9$ par application du résultat précédent qui nous donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 7 \pmod 9$ (ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur). Enfin on trouve $f(f(f(4444^{4444}))) \in \{9k+7, k \in \mathbb{Z}\} \cap \{k, k \in [0;11] \cup \mathbb{N}\}$ i.e $f(f(f(4444^{4444}))) = 7$.

J'aurais pas trouvé sans l'indice :? je penserai à la congruence modulo 9 la prochaine fois que ça parle de sommes de chiffres d'entiers.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » 01 juin 2019 07:15

Je la refais en entier pour l'exercice d'analyse :D :
SPOILER:
On pose $ g_h(x)=f(x+h)-f(x) $ pour tout $x \in [0,1-h]$. $g_h$ est continue sur $[0,1-h]$. On cherche à montrer qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $0 \le h < \varepsilon$, il existe $x \in [0,1-h]$ tel que $g_h(x)=0$.

$f$ est continue, définie sur un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, donc admet un maximum $M$ et un minimum $m$ qu'elle atteint. Notons $x_m$ un antécédent de $m$ par $f$. Alors en prenant $\varepsilon \le 1-x_m$, pour tout $h < \varepsilon$, nous avons bien $g_h(x_m)=f(x_m+h)-f(x_m)=f(x_m+h)-m \ge 0$. De même on prend $\varepsilon \le 1-x_M$ avec $x_M$ un antécédent de $M$ par $f$. Alors pour tout $h < \varepsilon$ on a $g_h(x_M)=f(x_M+h)-f(x_M)=f(x_M+h)-M \le 0$. De plus, nous pouvons choisir $x_m$ et $x_M$ tels que $x_m \ne x_M$. Par le TVI, quelque soit $h \le \varepsilon$, $g_h$ s'annule donc au moins une fois entre $x_m$ et $x_M$.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » 01 juin 2019 11:14

Inversion a écrit :
01 juin 2019 07:15
Je la refais en entier pour l'exercice d'analyse :D :
SPOILER:
On pose $ g_h(x)=f(x+h)-f(x) $ pour tout $x \in [0,1-h]$. $g_h$ est continue sur $[0,1-h]$. On cherche à montrer qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $0 \le h < \varepsilon$, il existe $x \in [0,1-h]$ tel que $g_h(x)=0$.

$f$ est continue, définie sur un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, donc admet un maximum $M$ et un minimum $m$ qu'elle atteint. Notons $x_m$ un antécédent de $m$ par $f$. Alors en prenant $\varepsilon \le 1-x_m$, pour tout $h < \varepsilon$, nous avons bien $g_h(x_m)=f(x_m+h)-f(x_m)=f(x_m+h)-m \ge 0$. De même on prend $\varepsilon \le 1-x_M$ avec $x_M$ un antécédent de $M$ par $f$. Alors pour tout $h < \varepsilon$ on a $g_h(x_M)=f(x_M+h)-f(x_M)=f(x_M+h)-M \le 0$. De plus, nous pouvons choisir $x_m$ et $x_M$ tels que $x_m \ne x_M$. Par le TVI, quelque soit $h \le \varepsilon$, $g_h$ s'annule donc au moins une fois entre $x_m$ et $x_M$.
Encore un problème : pas de raison que le min et le max soient atteint autre part qu en 1 (un des deux ok sinon f est constante mais les deux non).

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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » 01 juin 2019 11:30

Puisque $f(0)=f(1)$, si l'un des deux est atteint en $1$, alors il est aussi atteint en $0$ non ?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » 01 juin 2019 11:43

Inversion a écrit :
01 juin 2019 11:30
Puisque $f(0)=f(1)$, si l'un des deux est atteint en $1$, alors il est aussi atteint en $0$ non ?
OK là ça marche. Plus simplement si le max est atteint en x différent de 0 et 1 regarde juste la valeur de gh en x-h et x pour h plus petit que x et 1-x. C est quand même plus simple et évite les distinctions de cas.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » 01 juin 2019 11:44

Ah oui merci !

Merci beaucoup pour tout le temps que tu as consacré à corriger les fautes (un peu trop nombreuses) et pour les contre-exemples qui sont très instructifs !
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Re: Exercices de MPSI

Message par Chronoxx » 01 juin 2019 11:52

@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
01 juin 2019 04:44
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » 01 juin 2019 19:54

Dohvakiin a écrit :
06 juil. 2012 17:32
Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $
SPOILER:
Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » 01 juin 2019 19:56

Chronoxx a écrit :
01 juin 2019 11:52
@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
01 juin 2019 04:44
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

Nan mais justement, comment t'as eu l'idée de faire la division euclidienne de $4444$ par 3 ? Tu as juste regardé le reste modulo 9 des premières puissances de 7 en espérant tomber sur 1 ?
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Re: Exercices de MPSI

Message par rind2018 » 01 juin 2019 20:05

Salimovich a écrit :
01 juin 2019 19:56
Chronoxx a écrit :
01 juin 2019 11:52
@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
01 juin 2019 04:44
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

Nan mais justement, comment t'as eu l'idée de faire la division euclidienne de $4444$ par 3 ? Tu as juste regardé le reste modulo 9 des premières puissances de 7 en espérant tomber sur 1 ?
Periodicité de certaine congruences,en essayant avec les premières puissances de 7.(en tout cas c'est la technique classique)

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