Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Approfondissement cours MPSI

Message par Naelvicoz » 01 juin 2019 20:52

Salut,

Que diriez-vous d'un fil où l'on poserait des questions afin d'approfondir le cours de notre année qui va bientôt s'achever ? L'objet n'est pas ici de mettre des exercices difficiles mais les questions peuvent être difficiles et peuvent demander du recul sur le cours. Idéalement, cela ne doit pas nécessiter de calculs. Cela peut être de trouver un exemple ou contre exemple particulier, un prolongement d'un résultat du cours (changement du corps de base - il paraît qu'à l'ENS ils aiment bien poser ces petites questions lors d'un oral d'algèbre linéaire...). Notre prof fait souvent des appartés en mode "remarque pour les futurs MP*" lors du cours. C'est de ce genre de choses dont je parle. Les questions peuvent être faciles du moment que ça fait réfléchir sur une subtilité du cours. Les questions/remarques du cours de M. Troesch en sont parfois des exemples.

Je commence par vous donner des questions que j'ai bien aimées.
Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.
Montrer que dans la définition d'un anneau, le caractère abélien de la loi de groupe est une conséquence des autres axiomes de la définition.
Soit $ E $ un $ \mathbb K $-espace vectoriel et $ \mathbb L $ un sous-corps de $ \mathbb K $.
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) $ ?
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) $ ?
Montrer que la famille vide est libre sur tout espace vectoriel. De quel espace est-ce une base ?
Le caractère irréductible d'un polynôme est-il invariant par extension de corps ? Et par diminution du corps de base ?
Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel $ E $ qui n'admet pas de polynôme annulateur non nul.
Qu'est-ce que cela signifie sur $ \mathrm{dim}(E) $ ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par zygomatique » 01 juin 2019 21:23

Salimovich a écrit :
01 juin 2019 19:54
Dohvakiin a écrit :
06 juil. 2012 17:32
Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $
SPOILER:
Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
on peut faire un peu plus efficace :

notons A, M et N les points d'affixe -1, z, et z^2 avec z = exp(it) et donc z^2 = exp (2it) avec t dans [0, 2pi]

alors |1 + z| = |z - (-1)| = AM et |1 + z^2| = |z^2 - (-1)| = AN

le cercle trigonométrique et le cercle C de centre A et de rayon 1 se coupent en t = 2pi/3 et t = 4pi/3

(l'étude de) la fonction f : t --> 2t (sur [0, 2pi]) permet alors de conclure
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » 02 juin 2019 10:25

Salimovich a écrit :
01 juin 2019 19:54
Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
Que vaut $ f(x) $ quand $ x $ appartient à l'image de $ f $?
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Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » 02 juin 2019 11:34

Salut !
Naelvicoz a écrit :
01 juin 2019 20:52
Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.
SPOILER:
On peut prendre le polynôme $P = X^2 \in \mathbb{F}_2[X]$.
Une condition suffisante (et probablement nécessaire) pour que ça ne se présente pas est de se placer dans un corps de caractéristique nul typiquement $\mathbb{R}$.
Edit: mis en spoiler
Modifié en dernier par Chronoxx le 02 juin 2019 12:03, modifié 1 fois.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » 02 juin 2019 11:51

Trouver une suite $ (u_n) $ réelle bornée telle que $ u_{n+1} - u_n\to 0 $ mais qui ne converge pas.
Soient $ \mathbb{K}\subseteq\mathbb{L} $ des corps et $ E $ un $ \mathbb{L} $ espace vectoriel de dimension finie. On suppose $ \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{L})<\infty $. Trouver $ \dim_{\mathbb{K}}(E) $
On sait montrer Bolzano-Weierstrass dans $ \mathbb{R}^n $ facilement par extractions successives. Mais est-ce que l'on sait aussi le faire en dimension infinie ? Si je prend une suite de suites $ (u_{n,m}) $, est-ce qu'il existe une extractrice $ (\phi(n)) $ tel que pour tout entier $ m $, $ (u_{m, \phi(n)})_{n\ge 0} $ converge ?
Modifié en dernier par Errys le 25 juil. 2019 18:40, modifié 4 fois.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Schädel » 02 juin 2019 17:10

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » 02 juin 2019 17:42

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

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Message par Chronoxx » 02 juin 2019 18:22

Schädel a écrit :
02 juin 2019 17:10
Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?
SPOILER:
Oui.
On pose $v_0 = 0$ et pour tout $n\geq 1$, $v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n |u_k - u_{k-1} |$. Alors $v$ est clairement croissante.
On vérifie que la suite $u - v$ est décroissante.
Et on a bien $u = u - v + v$.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » 02 juin 2019 19:05

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?
SPOILER:
La reponse est non. On se fait l'intuition du résultat en remarquant qu'une fonction monotone est discontinue en un nombre au plus dénombrable de points donc f doit être discontinue en un nombre au plus dénombrable de points. Ce qui est visiblement pas forcément le cas. Voici une preuve sans utiliser cet outil :
Supposons que $ f = g+h $ avec g croissante et h décroissante.
Pour $ x\in [0,1], g(x) \le g(1), h(x) \le h(0) $ d'où $ f(x) = g(x) + h(x) \le g(1) + h(0) $. Ce qui montre que $ f $ est majorée, ce qui n'est clairement pas forcément le cas vu qu'on a pas continuité :
Prendre $ f(x) = 1/x $ si $ x > 0 $, 0 sinon.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » 02 juin 2019 19:16

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

Version un peu plus complexe

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