Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » 04 juin 2019 00:25

matmeca_mcf1 a écrit :
02 juin 2019 10:25
Salimovich a écrit :
01 juin 2019 19:54
Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
Que vaut $ f(x) $ quand $ x $ appartient à l'image de $ f $?
Si $x$ appartient à l'image de $f$ alors $\exists y \in \mathbb{R}, f(y)=x$ d'où $f(x)=f(f(y))=f(y)\cdot f(y)=x^2$

Sinon...
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » 04 juin 2019 00:27

1sala23 a écrit :
04 juin 2019 00:23

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Simon Billouet » 04 juin 2019 05:46

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » 04 juin 2019 08:06

Hicham alpha a écrit :
04 juin 2019 00:27
1sala23 a écrit :
04 juin 2019 00:23

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée
On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là :lol:
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » 04 juin 2019 12:32

Mathoss a écrit :
04 juin 2019 08:06
1sala23 a écrit :
04 juin 2019 00:23

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là :lol:
Oui, tout à fait ( les séries à termes positifs ne le vérifient pas)

Bonne journée

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par matmeca_mcf1 » 04 juin 2019 12:36

Indice: partez d'une série alternée qui n'est pas absolument convergente.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » 04 juin 2019 13:47

Trouver une série divergente ∑ Un et une série convergente ∑ Vn telles que Un ∼ Vn.
SPOILER:
Pas si évident que ça de trouver un contre-exemple ! Les suites ne peuvent pas être de signe constant sinon on est dans le cadre du théorème usuel.
On prend donc $ u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ pour construire $ (v_n) $, elle doit être du même signe que $ u_n $ à partir d'un certain rang, on peut donc supposer que c'est toujours le cas, d'où $ v_n = (-1)^n x_n $ avec $ (x_n) $ une suite positive qui ne peut pas être décroissante mais qui est équivalente à $ 1/\sqrt{n} $.
Pour cela, on peut prendre $ x_n = \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n} $ (on définit les suites que pour $ n \ge 2 $ pour éviter des problèmes de définitions futiles).
On a alors au voisinage de l'infini :
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+ (-1)^n} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{1}{1+ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} (1- \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} + o(1/n)) $$
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{n}+ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} + o(1/n^{3/2}) $$
Les termes $ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} $ sont des termes de séries semi-convergentes d'après le critère des séries alternées. Le terme qui se cache derrière le $ o(1/n^{3/2}) $ est le terme d'une série absolument convergente.
Ainsi, la série de terme général $ (v_n) $ ne peut converger car cela impliquerait la convergence de la série harmonique.

Donc on a $ u_n \sim v_n $, $ \sum u_n $ converge mais $ \sum v_n $ diverge !
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » 04 juin 2019 18:25

Simon Billouet a écrit :
04 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Un indice svp ?!

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Simon Billouet » 04 juin 2019 18:31

Essayez de raisonner par l'absurde et pensez à Bolzano et à Weierstrass (quand vous aurez résolu l'exercice vous pourrez également lire l'"anecdote personnelle" à leur sujet qui commence cet article et qui me fait beaucoup rire).
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » 04 juin 2019 20:23

Simon Billouet a écrit :
04 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
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