Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Hicham alpha
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. 4 juin 2019 20:37

Chronoxx a écrit :
mar. 4 juin 2019 20:23
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
oui, cette idée m'est venue à l'esprit aussi, mais j'avais peur que ces itérations seront infinis ( rien ne l'assure :oops: )
pour l'arrangement des termes restants, je ne connais pas de grandes choses à propos de cela :o

bonne journée
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Mathoss
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » mar. 4 juin 2019 20:40

Chronoxx a écrit :
mar. 4 juin 2019 20:23
Simon Billouet a écrit :
mar. 4 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
Taboutiras pas comme ça puisque quand t'extrais une suite, t'as tjrs un nombre infini dénombrable de termes à chaque itération ^^
Cherche vraiment par l'absurde, ça se voit bien avec un dessin
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Chronoxx
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. 4 juin 2019 20:43

My bad, je vois que ça coince quand j'essaie de formaliser. Faut prendre mon précédent message comme une simple idée spontanée :)
Modifié en dernier par Chronoxx le mar. 4 juin 2019 20:59, modifié 3 fois.
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Nabuco
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » mar. 4 juin 2019 20:47

Chronoxx a écrit :
mar. 4 juin 2019 20:43
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?

Après, par l'absurde, ça doit bien marcher aussi ^^
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...

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Hicham alpha
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. 4 juin 2019 20:51

Chronoxx a écrit :
mar. 4 juin 2019 20:43
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?
Mais, qu'est ce que nous assure qu'il va nous rester un nombre fini de termes ?
puisque on veut épuiser l'infini (infinité des termes ) par l'infini ( infinité d'itération), cela s'avère un peu compliqué :oops:
peut etre, on aura jamais des termes restants finis :shock:

bonne journée
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. 4 juin 2019 21:22

Nabuco a écrit :
mar. 4 juin 2019 20:47
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...
Je parlais du cas particulier où il restait un nombre fini de termes (je me suis mal exprimé, j'ai très mal placé le "si" conditionnel dans ma précédente phrase).

Quoi qu'il en soit, ça se fait bien par l'absurde.
C'était juste une idée ^^
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. 4 juin 2019 21:43

Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par antoine311200 » mar. 4 juin 2019 22:45

Simon Billouet a écrit :
mar. 4 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Bonjour, j'ai eu cet exercice en colle pendant l'année :
SPOILER:
Supposons que $ (u_n) $ ne converge pas, alors il existe $ \epsilon > 0 $ tel que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, il existe $ n_1 \geq n $ tel que $ \mid u_{n_1} - L\mid > \epsilon $

Considérons l'ensemble $ A = \{n \in \mathbb{N}, \mid u_n - L\mid > \epsilon \} $, cet ensemble est infini. En effet, si $ A $ était fini, il admetterait un plus grand élément, notons le $ M $. Or d'après l'hypothèse, on aurait l'existence de $ n_2 > M $ tel que $ \mid u_{n_2} - L\mid > \epsilon $ et c'est absurde car $ n_2 \in A $ par définition.

Ensuite, on peut alors construire une application $ \varphi : \mathbb{N} \rightarrow A $ strictement croissant. Alors, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\varphi(n)} - L\mid > \epsilon $.
De plus, cette suite extraite est bornée car $ (u_n) $ l'est aussi. Ainsi, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente vers un entier $ l $, notons là $ (u_{\psi(n)}) $.

Par extension, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\psi(n)} - L\mid > \epsilon $. En passant à la limite, on obtient la relation suivante qui va nous permettre de conclure :
$ \mid l - L \mid \geq \epsilon $ i.e $ l \not= L $

Cela prouve l'existence de deux limites différentes au sein des sous-suites de $ (u_n) $ (on parle de valeurs d'adhérence, la suite $ (u_n) $ en admet alors au moins deux). C'est absurde !

Donc $ (u_n) $ converge !
Modifié en dernier par antoine311200 le mer. 5 juin 2019 17:35, modifié 1 fois.
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Errys
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » mar. 4 juin 2019 23:01

Chronoxx a écrit :
mar. 4 juin 2019 21:43
Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
SPOILER:
Notons $ a = \mathrm{det}(A), b = \mathrm{det}(B) $, soient u,v entiers tels que $ au + bv = 1 $
Alors en multipliant l'égalité par $ I_n $ on obtient :
$ u\cdot aI_n + v\cdot bI_n = I_n $
Puis en utilisant $ aI_n =A {}^{t}(\mathrm{com} A) $ et une formule similaire pour $ bI_n $ on obtient :
$$ A\left( u{}^t(\mathrm{com} A)\right) + B\left(v{}^t(\mathrm{com}B)\right) = I_n $$
Puis on remarque que la comatrice d'une matrice à coefficients entiers est aussi à coefficients entiers, donc on a le résultat voulu :D
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Re: Exercices de MPSI

Message par Mamoun1 » mer. 5 juin 2019 02:29

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)

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