BobbyJoe a écrit : ↑25 juil. 2019 10:56@Yusif
Vrai : il suffit d'observer un télescopage en introduisant la suite $u$ définie pour $n\in\mathbb{N}$ par : $\displaystyle u_{n}=\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}$ et de découper un peu les $\varepsilon.$ L'énoncé reste d'ailleurs vrai si $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$
Voici un exercice basé sur le même genre de technique (se ramener à des récurrences connues mais perturbées sur les suites) :
Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $\alpha\in \mathbb{C}$ tel que $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$ On considère une suite $u$ bornée et vérifiant $\displaystyle u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l$ où $l\in \mathbb{C}.$
i) Montrer que $u$ est convergente.
ii) Donner un contre-exemple lorsque $u$ n'est pas bornée.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de MPSI
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Re: Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI
Errys a écrit : ↑02 juin 2019 11:51On sait montrer Bolzano-Weierstrass dans $ \mathbb{R}^n $ facilement par extractions successives. Mais est-ce que l'on sait aussi le faire en dimension infinie ? Si je prend une suite de suites $ (u_{n,m}) $, est-ce qu'il existe une extractrice $ (\phi(n)) $ tel que pour tout entier $ m $, $ (u_{m, \phi(n)})_{n\ge 0} $ converge ?
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Re: Exercices de MPSI
On dit qu'un anneau $ (A, +, \cdot) $ est de Boole si pour tout $ x\in A $ $ x^2 = x $. On peut monter que tout anneau de Boole fini est isomorphe à un anneau de la forme $ (P(E), \Delta, \cap) $. Montrer que le théorème est faux si on suppose A infini.
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Re: Exercices de MPSI
Comme personne a résolu certains de mes problèmes, je poste les solutions, si ca intéresse des gens :
Peut-on trouver une fonction réelle non constante dont l'ensemble des périodes strictement positives n'a pas de minimum ? Et si on ajoute la condition que cette fonction doit être continue ?
SPOILER:
Si on se donne une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui diverge, est-ce qu'on peut toujours trouver $ \sum v_n $ de réels positifs qui diverge aussi et telle que $ v_n = o(u_n) $
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Re: Exercices de MPSI
Une variation technique sur le même exercice...
Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $ $$\alpha\in \mathbb{C}.$
On considère une suite $u$ verifiant :
$\displaystyle \exists\beta\geq 0,\mbox{ } \forall n\gg1 : \vert u_{n} \vert \lesssim n^{\beta} \mbox{ et } \exists l\in\mathbb{C},\mbox{ } u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l.$
i) Montrer que $u$ est convergente si $\vert \alpha \vert q^{\beta}<1$ (ce qui montre que le contre-exemple de @Errys est "sharp" comme on dit ^^).
Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $ $$\alpha\in \mathbb{C}.$
On considère une suite $u$ verifiant :
$\displaystyle \exists\beta\geq 0,\mbox{ } \forall n\gg1 : \vert u_{n} \vert \lesssim n^{\beta} \mbox{ et } \exists l\in\mathbb{C},\mbox{ } u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l.$
i) Montrer que $u$ est convergente si $\vert \alpha \vert q^{\beta}<1$ (ce qui montre que le contre-exemple de @Errys est "sharp" comme on dit ^^).
Re: Exercices de MPSI
sympa aussi avec cette nouvelle condition, on enlève la possibilité d'utiliser l'unicité de la valeur d'adhérence.
Sans perdre de généralité on peut supposer $l=0$, soit $\varepsilon \geq 0$ et $N$ tel que $\forall p \geq N : |y_{p}| \leq \varepsilon$
avec $y_{n}=u_{n}+au_{qn}$, on a pour $k\geq 0$ entier, $y_{q^{k}n}=u_{q^{k}n}+au_{q^{k+1}n}$ , soit :
$v_{k}=(-1)^{k}a^{k} y_{q^{k}n} = (-1)^{k} a^{k} (u_{q^{k}n}+ au_{q^{k+1}n})$,
Fixons un entier $n\geq 1$, pour un entier $m \geq 1$
la somme $S_{m}(n)=\sum_{k=0}^{m-1} v_{k}= u_{n}-(-1)^{m} a^{m} u_{q^{m}n}$ converge vers $u_{n}$ en effet .
$|S_{m}(n)-u_{n}| \leq (|a| q^{\beta} )^{m} n^{\beta}$ (suffit de tendre $m\to \infty$ en vue des hypothèses).
Ainsi pour $m$ assez grand nous avons $|S_{m}(n)-u_{n}| \leq \varepsilon$
Maintenant pour $n$ assez grand :
$|S_{m}(n)|= |\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^{k} a^{k} y_{q^{k}n}| \leq \sum_{k \geq 0} |a|^{k} \varepsilon \leq \frac{\varepsilon}{1-|a|}$ ceci permet d'obtenir en combinant les deux inégalités.
$|u_{n}| \leq |S_{m}(n)-u_{n}|+|S_{m}(n)| \leq (1+ \frac{1}{1-|a|}) \varepsilon$
Sans perdre de généralité on peut supposer $l=0$, soit $\varepsilon \geq 0$ et $N$ tel que $\forall p \geq N : |y_{p}| \leq \varepsilon$
avec $y_{n}=u_{n}+au_{qn}$, on a pour $k\geq 0$ entier, $y_{q^{k}n}=u_{q^{k}n}+au_{q^{k+1}n}$ , soit :
$v_{k}=(-1)^{k}a^{k} y_{q^{k}n} = (-1)^{k} a^{k} (u_{q^{k}n}+ au_{q^{k+1}n})$,
Fixons un entier $n\geq 1$, pour un entier $m \geq 1$
la somme $S_{m}(n)=\sum_{k=0}^{m-1} v_{k}= u_{n}-(-1)^{m} a^{m} u_{q^{m}n}$ converge vers $u_{n}$ en effet .
$|S_{m}(n)-u_{n}| \leq (|a| q^{\beta} )^{m} n^{\beta}$ (suffit de tendre $m\to \infty$ en vue des hypothèses).
Ainsi pour $m$ assez grand nous avons $|S_{m}(n)-u_{n}| \leq \varepsilon$
Maintenant pour $n$ assez grand :
$|S_{m}(n)|= |\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^{k} a^{k} y_{q^{k}n}| \leq \sum_{k \geq 0} |a|^{k} \varepsilon \leq \frac{\varepsilon}{1-|a|}$ ceci permet d'obtenir en combinant les deux inégalités.
$|u_{n}| \leq |S_{m}(n)-u_{n}|+|S_{m}(n)| \leq (1+ \frac{1}{1-|a|}) \varepsilon$
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Re: Exercices de MPSI
@Oty20 : Bien joué! Et comme dit précédemment : @Errys a montré (son contre-exemple s'adapte facilement) que la condition sur $ $$\alpha$ est optimale en terme de la croissance polynomiale de la suite $u$ (i.e. en fonction de $\beta$).
Une remarque de forme cependant : Je trouve un peu plus lisible (mais si c'est essentiellement l'esprit de la preuve) d'appliquer d'abord l'inégalité triangulaire pour avoir :
$\displaystyle \forall n\gg 1,\mbox{ }\vert u_{n}\vert \leq \varepsilon+\vert \alpha \vert \vert u_{qn} \vert .$
Et ensuite d'itérer cette relation pour avoir : $\displaystyle \forall n\gg1,\mbox{ } \forall N\in\mathbb{N},\mbox{ } \vert u_{n} \vert \leq \varepsilon\sum_{k=0}^{N-1}\vert \alpha \vert^{k} + \vert \alpha \vert ^{N}\vert u_{q^{N}n} \vert.$
On conclut (comme tu l'as fait) en utilisant les hypothèses...
Une remarque de forme cependant : Je trouve un peu plus lisible (mais si c'est essentiellement l'esprit de la preuve) d'appliquer d'abord l'inégalité triangulaire pour avoir :
$\displaystyle \forall n\gg 1,\mbox{ }\vert u_{n}\vert \leq \varepsilon+\vert \alpha \vert \vert u_{qn} \vert .$
Et ensuite d'itérer cette relation pour avoir : $\displaystyle \forall n\gg1,\mbox{ } \forall N\in\mathbb{N},\mbox{ } \vert u_{n} \vert \leq \varepsilon\sum_{k=0}^{N-1}\vert \alpha \vert^{k} + \vert \alpha \vert ^{N}\vert u_{q^{N}n} \vert.$
On conclut (comme tu l'as fait) en utilisant les hypothèses...
Re: Exercices de MPSI
oui je m'en excuse c'était 5h du matin, l'idée met venu à partir du terme $q^{\beta}$ dans la condition $r=|a| q^{\beta} < 1$ il fallait bien le faire apparaitre de quelque part, en regardant la condition de domination en $n \to qn$ et en itérant j'ai su approximativement quoi faire et j'ai entamé la rédaction du poste directement, ce qui a donné "this messy solution" ^^.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exercices de MPSI
Dénombrement complexe:
Dénombrer les sous-ensemble de $\{1,2,3,...,20\}$ tels que $5$ divise la somme de leurs éléments.
Dénombrer les sous-ensemble de $\{1,2,3,...,20\}$ tels que $5$ divise la somme de leurs éléments.
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